Suite

les suites LMD 1`re ann´e, Unit´s LM115 et LM 151, e e e ann´e 2005-06 e Henri Skoda Plan du cours sur les suites. 0) Axiomes de d´finition de IR. e 1) D´finition d’une suite. e 2) D´finition de la convergence d’une suite. e 3) Propri´t´s ´l´mentaires: unicit´ de la limite,.... e e ee e 4) Th´or`me des ”gendarmes”. e e 5) Toute suite convergente est born´e. e 6) Suites monotones born´es. e 7) Exemple des suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est croissante. e u 8) Limites infinies. 9) Op´rations sur

1ère STL MATHÉMATIQUES Exercice 1 : (2 points) La suite (Un) est arithmétique telle que [pic] = 15 et [pic] = 60. Calculez [pic] et r. Exercice 2: (3 points) Soit (U.) une suite arithmétique de premier terme [pic] et de raison r avec [pic] =2 et r = 5. a) Calculer [pic] + [pic]+... +[pic]. b) Calculer [pic] +[pic]+ - +[pic]. Exercice 3 : (3 points) Soit (Un) une suite géométrique de premier terme [pic] et de raison q avec [pic]=8 et q =2. a) Calculer [pic] + [pic]+.....+[pic]

Suites numériques - Généralités 1.Définition Une suite numérique est la donnée d’une suite de nombres qui peuvent être logiquement déterminés ou non. On note (un) ou la suite de nombres. Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter u, ce qui n’est pas une notation générale. Exemples : • (un) = {0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7} est une suite (finie) de (8) nombres sans raison apparente, on n’est pas capable de décider de la valeur du terme qui viendrait après le dernier donné. • (un)

Les suites Les valeurs prises par une suite sont appelées termes de la suite. Si on nomme u une suite, alors on note son premier terme, son deuxième terme, son troisième, etc. Il y a deux façons de définir une suite: - On peut donner la formule du terme général en fonction de n (pour la première suite tout en haut, on aurait ). - On peut donner son premier terme et une relation générale qui relie deux termes consécutifs. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Pour le deuxième

0) 2ème étape : on suppose la propriété vraie au rang n 3ème étape : on en déduit que la propriété est vraie au rang n+1 Conclusion : la propriété est vraie pour tout n  IN (respectivement pour tout n ≥ n0). Exemples : Exemple 1 : Soit (un) la suite définie par : un = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). u1 = 1 ; u2 = 1 + 3 = 4 ; u3 = 1 + 3 + 5 = 9 ; u4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Conjecture un = n2. Exemple 2 : 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x pour tout x ≠ 0. 1 2 3x2 f '(x) = - 2 ; f ''(x) = 3 ; f

Suite arithmétique Aller à : Navigation, rechercher 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… La suite des nombres impairs est arithmétique de raison 2. En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (par exemple de nombres) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison. Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque indice n : Cette relation est caractéristique de la progression arithmétique ou croissance linéaire

Progression suite géométrique On appelle progression géométrique une suite de nombres tel que chacun est égal au précédent multiplié par un même nombre. Par exemple, qu' on multiplie 3 par 2, ce qui donne 6; puis 6 par par 2 ce qui donne 12; puis 12 par 2, ce qui donne 24 etc. La suite 3; 6; 12; 24... est une progression par quotient. Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme par avoir le suivant est la raison de la progression. Cette progression est dite progression par quotient

La suite de fibonacci I. Présentation La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci. La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2)

Nous devons expliquer comment Fibonacci a créé « la suite de Fibonacci » en se servant du modèle de l’élevage de lapins. Nous allons donc décrire la suite entant qu’une suite d’entiers dans laquelle chaque nombre équivaut à la somme des deux termes précédents. Cette suite commence généralement par 0 et 1 (occasionnellement 1 et 1) et va comme suit : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. Nous allons également parler de l’homme qui inventa cette suite, Leonardo Fibonacci, un mathématicien italien du

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10