Théorie des probabilités

certaine.  Événement impossible : L’ensemble vide qui, par définition, ne contient aucun élément est l’événement impossible. Il ne peut se réaliser. Il ne peut être une issue de l’expérience aléatoire.  Réunion d’évènements : Chapitre : Probabilités I La réunion de deux évènements A et B est l’évènement qui sont contenus dans A ou dans B. . Il contient les résultats Exemple 5 : Si nous reprenons le dé de l’exemple 3, Si nous considérons les évènements A « obtenir un chiffre { } et

Qu’est ce que le Hasard ? Le terme hasard peut définir plusieurs notions. Et ce qui est hasardeux pour une personne peut ne pas l’être pour une autre. Le Larousse donne en effet deux définitions du mot hasard : « Puissance considérée comme la cause d’événements apparemment fortuits ou inexplicables ». Cette définition suppose déjà la présence d’une puissance. Dans ce cas, faut-il comprendre le hasard comme l’absence totale d’explication rationnelle ou irrationnelle pour un événement donné ou au

CONDITIONNEMENT Dans tout le chapitre, E désigne l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et P désigne une loi de probabilité sur E. I. Probabilité conditionnelle Définition : Soit A et B deux événements avec [pic]. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. Elle est notée [pic] et est définie par : [pic] Exemples : 1) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit

issues : La composition est défectueuse p = 0,025 ou elle ne l’est pas q = 0,975 Donc X suit la loi binomiale de paramètres 12 et 0,025 2. 3. P(X = 2) = 2 C 12 0 ,025 2 × 0 ,975 10 ≈ 0,032023 B (12 ; 0,025) P(X=2) ≈ 0, 03 (à 10 −2 près) Probabilité d’avoir au plus une composition défectueuse P(E) = P(X = 0) + P(X = 1) = C 0 0 ,025 0 × 0 ,975 12 + C 1 0 ,025 1 × 0 ,975 11 = 0,975 12 + 12 x 0,025 x 0,975 11 12 12 P(E) ≈ 0,737998 +0,227076 ≈ 0,97 (ou 0,96) P(E) ≈ 0,97 C – Loi normale X1 variable

Partie A Une urne contient n boules blanches (n dans N), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne. 1. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules blanches ? 2. On note p(n) la probabilité de tirer 2 boules de même couleur. a) Montrer que b) Calculer . . Interpréter ce résultat. Partie B Pour les questions suivantes n = 4. 1. Calculer p(4) . 2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard 2 boules de l'urne. Un joueur effectue 2 tirages

le calcul) 4°) Calculer l’étendue. (Ecrire le calcul) 5°) Déterminer la valeur médiane de cette étude. Justifier. 6°) On choisit au hasard un adhérent de cette section de natation : a) Quelle est la probabilité que cet élève ait 16 ans ? b) Quelle est la probabilité que cet élève ait au plus 14 ans ? EXERCICE 2 Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets.    [pic] 4 de ces billets permettent

photocopieur » et pn = p(In) la probabilité de l’évènement In. Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée : • p(I1) = p1 = 0,75. • Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04. • Sachant qu’il n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est

choix sont équiprobables. On note : - F l’événement : « l’individu choisi est une femme » ; - C l’événement : « l’individu choisi fréquente les salles de cinéma ». 1. a. Déterminer la probabilité de l’événement FÇC. 1. b. Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0,1755. 1. c. Déterminer la probabilité que la personne choisie soit une femme, sachant qu’elle ne va jamais au cinéma. (Le résultat sera arrondi à 10-4 près.) 2. On choisit trois individus au hasard dans cette population

considérés comme « anciens » 4 sont considérés comme « récents » 3 sont considérés comme « neufs ». PARTIE A L'entreprise décide d'observer l'état des 16 camions pendant une période donnée. On sait de plus que, pendant cette période, la probabilité que un camion « ancien » ait une panne, est égale à 0,08 un camion « récent » ait une panne, est égale à 0,05 un camion « neuf » ait une panne, est égale à 0,0025. On choisit au hasard un camion parmi les 16. On note les évènements suivants

Applications des lois de probabilité Exercice1 : Enoncé : Une urne contient neuf boules. Quatre de ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro 1 et deux le numéro 2. Tous les tirages sont supposés équiprobables. On tire au hasard deux boules simultanément. Soit X, la somme des numéros marqués sur ces boules. Déterminer et représenter graphiquement la loi de probabilité de X. Tracer aussi la courbe cumulative (= représentation graphique de la fonction de répartition)