Théorie des probabilités

stochastique et fonctions aléatoires Processus stochastique Définitions Définition 1.1 Soit T = ∅. On appelle processus stochastique définie sur (Ω, F, P) à valeurs dans (E , β), le terme Ω, F, P, (Xt )t∈T constitué par (Ω, F, P) qui est un espace de probabilité et d’une famille (Xt )t∈T de variables aléatoires définies sur (Ω, F, P) à valeurs (E , B). L’espace (Ω, F, P) est appelé espace de base et (E , B) est dit espace de phase ou espace des états du processus. Exemple 1.1: On considère N lancers

des probabilités Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2014 - 2015 I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2014 - 2015 1 / 26 Sommaire 1 Notions de base 2 Définition de probabilité 3 Probabilité conditionnelle et indépendance I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2014 - 2015 2 / 26 Notions de base Notions de base I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2014

on tire au hasard une bille dans S1 ; • on place la bille tirée de S1 dans S2 , puis on tire au hasard une bille dans S2 ; • on place la bille tirée de S2 dans S3 , puis on tire au hasard une bille dans S3 ; • etc . . . Pour tout entier n probabilité. 1) 1, on note En l’événement « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p(En ) sa Mise en évidence d’une relation de récurrence a) D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1 ), pE1 (E2 ) et pE1 (E2 ). En déduire la valeur de p(E2

jeu de 52 cartes. On définit la valeur X de la carte ainsi tirée comme suit : X() = 4 si  est un as ; X() = 3 si  est un roi ; X() = 2 si  est une dame ; X() = 1 si  est un valet ; X() = 0 dans les autres cas. Loi de probabilité de X, Valeur moyenne d'une carte. Ecart-type de X. Valeur moyenne d'une main de 13 cartes. 3. Jeu "chuck a luck" (Etats-Unis), "crown and anchor" (Angleterre). On parie sur un nombre de 1 à 6. On lance 3 dés. Si le nombre sur lequel on a parié

Posons Montrer que f est une fonction de densité de probabilité f représente-t-elle une loi uniforme ? On pose X la variable aléatoire de fonction de densité f. A est l’événement «  » et B est l’événement «  » Pour chacune des six probabilités suivantes : Énonce en français la signification de la probabilité. Trace un petit croquis mettant en valeur l’aire représentative de la probabilité. Calcule à près la valeur de la probabilité. Solution : Pour tout x compris entre 0 et 10

approches fréquentiste ou subjective convient le mieux pour attribuer les probabilités : a) En tirs de barrage, un joueur de hockey a compté lors de 7 des 20 derniers tirs qu’il a effectués. Son entraîneur vient de le sélectionner pour effectuer le prochain tir. Quelle est la probabilité qu’il marque? b) Un comité d’embauche doit évaluer une candidature pour un projet qui doit s’échelonner sur deux ans. Quelle est la probabilité que le candidat, s’il reçoit une offre, demeure à son poste pour les deux

On note P(E) la probabilité d'un événement E et P(E/F) la probabilité conditionnelle de E sachant F Un client téléphone à l'artisan. On note : R l'événement « le client obtient le répondeur » A l'événement « l'artisan est présent » A l'événement contraire de A. 1° Déterminer la probabilité P(R), ainsi que les probabilités conditionnelles P(R/A) et P(R/ A ) . 2° a) Exprimer P(R) en fonction de P(R/A), P(R/ A ) et P(A), 2 4 b) En déduire l'égalité = – P(A)+ 1 et calculer la probabilité que l'artisan

Leçon 2 Les probabilités Le champ d’application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent beaucoup. En 1reES, il s’agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base car le principal du cours se fait en Terminale où nous reprenons tout généralement de A à Z. Lycée Elève : Classe : Première ES Fiche Leçon 2 Les probabilités Exercice 1 Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l’une après l’autre sans remettre la boule

. . Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Densité spectrale croisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 54 55 55 59 62 66 66 67 72 72 5 Analyse Spectrale 6 Estimation de la densité de probabilité d’une variable aléatoire. 1 Estimation par histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Estimateur du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Régession non paramètrique 1 Estimateur à noyau . . . . . . . .

sur (Ω,a,P) à valeurs dans E est une chaîne de Markov de matrice de transition π si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a : P(Xn+1 = x / Xn=xn, . . . , X0=x0) = P(Xn+1 = x/ Xn=xn) = π (xn, x). 3) Une probabilité q sur E est une probabilité invariante, ou probabilité stationnaire, d’une chaîne de Markov de matrice de transition π si : q = q π . 4) Soit X = (Xn, n ∈ N) une chaîne de Markov. On note : Px .=P( . /X0=x) et Tx=infn>0;Xn=x . Un état x ∈ E est