Théorie des probabilités

Table des matières Chapitre 1 : Les premières notions 2 Section 1 : Les critères de décision en situation risquée 3 Section 2 : Préférences et choix sur les loteries 4 I/ L’axiomatique des préférences 4 Chapitre 2 : La théorie de l’utilité espérée 4 Section 1 : Le critère de l’espérance utilité 4 I/ Le théorème de VNM 4 II/ Propriétés 4 Section 2 : Les différentes attitudes possibles face aux risques 5 I/ La notion de l’équivalent certain (K) 5 II/ Aversion pour le risque et inégalité

PREREQUISES • Cours de math´matiques de premi`re ann´e (l’´quivalent de l’ouvrage de e e e e P. Deschamps, Cours de Math´matiques pour Economistes, Paris, Dunod 1988). e • Probabilit´, probabilit´ jointe, probabilit´ conditionnelle e e e • Ind´pendance de deux ´v´nements e e e • Th´or`me de la probabilit´ totale e e e • Variables al´atoires discr`tes et continues e e • Distribution et densit´ (cas univari´) e e • Esp´rance math´matique et propri´t´s e e ee • Variance et

est stationnaire, c’est à dire sous l’hypothèse que |θ| < 1, alors montre immédiatement que : p (1.12) xT +k −→ 0 k→∞ Ce résultat signifie que lorsque k tend vers l’infini, l’écart entre le processus xT +k et la tendance linéaire, converge en probabilité vers 0. Ainsi, sous l’effet des chocs antérieurs à la date T, on s’est éloigné de la tendance, mais lorsque le temps passe, l’effet de ces chocs s’estompe et l’on rejoint la tendance de long terme. Ce résultat illustre l’absence de persistance des

Séries chronologiques et problèmes de stationnarité 1 Un exemple introductif Soient deux séries aléatoires yt et xt définies comme suit : yt = 10 + 0,37.t + εt xt = 1 + xt-1 + ε’t avec x0 = 0 Pour t allant de 1 à 100 et où εt et ε’t sont deux séries d’aléas normaux, centrés, homoscédastiques d’écarts-type égaux à 1, indépendants entre les périodes et indépendantes entre elles. Pour une simulation, ou réalisation particulière, des deux séries d’aléas indépendantes, on obtient les

à 10−2 près. Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0, 1. 1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité des événements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut »

CONDITIONNEMENT INDEPENDANCE 1°) Probabilité conditionnelle 1-1 Exercice Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes a) Représenter cette situation par un arbre b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèves du lycée ,  une fille externe  un élève externe c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il

variable aléatoire prend différentes valeurs X avec des probabilités définies par sa distribution de probabilité P(X). |Exemple : P(X ( 1) = P(X = 0) + P(X = 1) | 1 Principe. Toute variable est aléatoire dès lors que l’on a : • un ensemble de valeurs possibles ((). ( Exemple : ( = {pile; face} • une fonction de probabilité P(x) ( Exemple : P(pile) = 1/2 2 Définitions

par traduire dans le langage des probabilités l'énoncé. • "la probabilité que l' alarme se déclenche par erreur, sans incident = 1/50" signifie que P( A [pic][pic]) = 1/50 = 0,02. • "la probabilité qu'il y ait un incident sans que l'alarme se déclenche = 1/500" signifie que P( [pic][pic]I ) = 1/500 = 0,002. • "la probabilité qu'il se produise un incident = 1/100" signifie que P( I ) = 1/100 = 0,01. A) 1: On veut la probabilité de l'événement (A [pic]I ) .     Or

Chapitre 1 Probabilités et variables aléatoires L'objectif du chapitre est d'utiliser le concept de probabilité pour construire un certain nombre de modèles pouvant rendre compte de situations concrètes, où l'application de lois déterministes est impossible parce que les phénomènes sont très compliqués, ou les facteurs trop nombreux. 2 Chapitre 1 : Probabilités et variables aléatoires Chapitre 1 : Probabilités et variables aléatoires 3 1. Probabilités 1.1. Evénements L'expérimentateur

On note M : « l’individu est malade » et T : « l’individu réagit positivement au test ». 1) On suppose que, à in instant, la probabilité pour qu’un individu soit atteint de cette maladie est 0,05. a) Calculer p(T) (on pourra s’aider d’un arbre). b) Déterminer la probabilité qu’un individu soit non malade, sachant que le test est positif. 2) On suppose que la probabilité qu’un individu soit atteint de cette maladie est p. a) Montrer que [pic]. b) Étudier le sens de variation de cette fonction