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Espace vectoriel R nChapitre 1 n L’espace vectoriel R
I.
Définition . Soit n N .
R n x1 , x2 .,.., xn / x1 , x2 .,.., xn R
Exemples.
1) R1 R .
2) R 2 x, y / x, y R .
3) R 3 x, y, z / x, y, z R
Définition .
Dans R n , on définit les deux opérations suivantes :
a) L’Addition interne :
Soient x1 , x2 .,.., xn R n et y1 , y2 .,.., yn R n , alors on a :
x1 , x2 .,.., xn y1 , y2 .,.., yn x1 y1 , x2 y2 .,.., xn yn R n .
Cette opération est appelée l’addition interne dans R n .
Exemples.
2;7,1 3,1,9 5,6,8.
3;0,1,3 3,1,4,0 6,1,3,3.
b) La multiplication externe :
Soient R et x1 , x2 .,.., xn R n , alors on a :
x1 , x2 .,.., xn x1 ,x2 ,..,xn R n .
Cette opération est appelée la multiplication externe dans R n sur R. .
.
Exemples.
2.3,1,9 6, 2,18.
3.3;0,1,3 9, 0,3,9.
Définition . Soit n N.
On dit que R n muni de l’addition interne (+) et la multiplication externe (.) est un espace vectoriel n et on note ( R ,, .) est un e.v.
Les éléments de R sont appelés les scalaires.
Les éléments de R n sont appelés les vecteurs.
Le vecteur (0, 0,...,0) est appelé le vecteur nul et noté On .
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Définition . Soit n N et X , X 1 , X 2 ,..., X P R n .
On dit que X est une combinaison linéaire de X 1 ,..., X p s’ils existent 1 ,..., p tels que p X 1 X 1 2 X 2 ... p X P ( X i X i ). i 1
Exemples.
1) (2, -11) est une combinaison linéaire de (1, 2) ; (0, -5) car : (2, -11)=2(1, 2)+3(0,-5).
2) (-1, -4, -3) est une combinaison linéaire de (1, 2, -3) ; 2(1, 1, 0) ; (1, 2, 0) car
(-1, -4, -3)= (1, 2, -3)+2(1, 1, 0)-4(1, 2, 0).
II. Sous espace vectoriel.
Définition .
Une partie E de R n est dite sous espace vectoriel de R n et on note E est un s.e.v de R n s’elle vérifie :
E .
X , Y E; X Y E ( E est stable par l' addition interne) .
R, X E;X E ( E est stable par la multiplication externe)