Espace vectoriel R n

Chapitre 1 n L’espace vectoriel R

I.

Définition . Soit n  N  .

R n  x1 , x2 .,.., xn  / x1 , x2 .,.., xn  R

Exemples.
1) R1  R .
2) R 2  x, y  / x, y  R .
3) R 3  x, y, z  / x, y, z  R

Définition .
Dans R n , on définit les deux opérations suivantes :
a) L’Addition interne :
Soient x1 , x2 .,.., xn   R n et  y1 , y2 .,.., yn   R n , alors on a :

x1 , x2 .,.., xn    y1 , y2 .,.., yn   x1  y1 , x2  y2 .,.., xn  yn  R n .
Cette opération est appelée l’addition interne dans R n .

Exemples.

2;7,1  3,1,9  5,6,8.
3;0,1,3  3,1,4,0  6,1,3,3.
b) La multiplication externe :
Soient   R et x1 , x2 .,.., xn   R n , alors on a :

 x1 , x2 .,.., xn   x1 ,x2 ,..,xn   R n .
Cette opération est appelée la multiplication externe dans R n sur R. .
.

Exemples.

2.3,1,9  6, 2,18.
 3.3;0,1,3   9, 0,3,9.

Définition . Soit n  N.
On dit que R n muni de l’addition interne (+) et la multiplication externe (.) est un espace vectoriel n et on note ( R ,, .) est un e.v.
Les éléments de R sont appelés les scalaires.
Les éléments de R n sont appelés les vecteurs.
Le vecteur (0, 0,...,0) est appelé le vecteur nul et noté On .
1

Définition . Soit n  N et X , X 1 , X 2 ,..., X P  R n .

On dit que X est une combinaison linéaire de X 1 ,..., X p s’ils existent 1 ,...,  p tels que p X  1 X 1  2 X 2  ...   p X P ( X   i X i ). i 1

Exemples.
1) (2, -11) est une combinaison linéaire de (1, 2) ; (0, -5) car : (2, -11)=2(1, 2)+3(0,-5).
2) (-1, -4, -3) est une combinaison linéaire de (1, 2, -3) ; 2(1, 1, 0) ; (1, 2, 0) car
(-1, -4, -3)= (1, 2, -3)+2(1, 1, 0)-4(1, 2, 0).

II. Sous espace vectoriel.
Définition .
Une partie E de R n est dite sous espace vectoriel de R n et on note E est un s.e.v de R n s’elle vérifie :





E  .
X , Y  E; X  Y  E ( E est stable par l' addition interne) .
  R, X  E;X  E ( E est stable par la multiplication externe)