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Le candidat doit traiter les deux Exercices et le Problème.

_, EXERCICE l
Soit

ABCDEFGI-I

un cube d'arête

1.

On désigne par

J

le centre du carr,é

BCGF.

(A; AB, AD, AË)

On munit l'espace du repère orthonormé direct

~_---.........--:-------1 G

F ï re----------.·(" ~ i

i

j),i- ___
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A
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----7

1/-

_1

c

"
---}

--7

AB - AC + AD == Q.

b) Déterminer l'ensemble (96) des points
a) Justifier que

rv1

(ME - MC + MD) . (ME - MC) ==

de l'espace tels que:

Q.

Soit t l'application de l'espace dans lui-même qui associe à tout point M, le point t(M) == M' tel que:
----+

-~

-----7

MM' == MB - 2 MC

-----t

+ MD·

a) Déterminer la nature de t et préciser son élément caractéristique.

b) Déterminer l'image de (!?) par t.

3°) Démontrer qu'il existe une homothétie h dont on précisera le centre le rapport k telle que h(J) = A et h(B) = H.
4°)

Soit

S (~;

~

n et

; ~) un point de l'espace.
SA.BCD est une pyramide.

a) Démontrer que
b) Calculer le volume de l'image de cette pyramide par t 0 h.
Suite en Page 2/3

2/3

EXERCICE 2

+ 1 x),5

1°)

Justifier que dans l'anneau (~/871.1
Inverse.

2°)

Résoudre dans

2/ 82 l'équation 4x = 4.

3°)

Résoudre dans

(2/ 82 )

2

est inversible ellrom'er son

le système:

5X+6 Y =3

{ 3x + 2y = 5 .

4°)

Déterminer tous les entiers naturels divisible par 8.

n tels que

n x 7211 + 4n -1 soit

PROBLEl\lE f est la fonction de

f

n~ vers ]Pl définie par:

eX ) = lnlxl - -lnlxl
.
x

(C) la courbe représentative de f dans le plan repère orthonormé (0; T, J).
On désigne par

mUni

d'un

Partie A
1°)

Solt 1) l'ensemble de définition de f.

a) Démontrer que TI == ms.".

b) Etudier les limites de f aux bornes de 1).

c) Etudier les branches infinies de (C).

2°)

Justifier que f est dérivable en tout point de 1) et qu'on a : pour tout X élément de 1),

t~ '(x )

==

g(x) xL avec

g

( X) =
, l n 1X 1

. 3°) a) Etudier les variations de la fonction g.