Cours mathématique aes

Pages: 12 (2903 mots) Publié le: 28 novembre 2012
 


 

Cours de Mathématiques-Statistiques
Du
 1er
 Semestre


 

Attention
 cela
 ne
 dispense
 et
 ne
 remplace
 en
 aucun
 cas
 d’assister
 aux
  cours
 magistraux
 

 


 

Chapitre I : Les Suites I/ Généralités
A/ Définition 1) Préambule
« La somme de » est transcrit :

!

������  (������) = ������   0 + ⋯ + ⋯ +������  (������)
!!!

Exemple : •
!

2������ + 3 = 2������1 + 3 + 2������2 + 3 + ⋯ + 2������5 + 3
!!!



4+6+…+18 è

!

(2������)
!!!

2) Suites
1 /10 U0= 1 U1= 0,1 U2= 0,01 U3=… Une suite numérique est une fonction f(x) de N en R défini à partir du rang 0.

La rotation (Un), désigne la suite en tant qu’objet mathématique. Et la rotation Un désigne l’image de l’entier n(terme d’indice n de la suite). Exemple : Un= 1/n avec n > ou = 1 è Calculer les cinq premier terme ? U1 = 1/1 ; U2= ½ ; U3= 1/3 ; U4= ¼ ; U5= 1/5 •
  U0= 2 … Un+ 1 = Un (1-Un) donc uO= 2, u1= -2, u2= -6, u3=-42, u4= -1706 2
 

3) Série
Soit Un, une suite de réel. On appel « série de terme générale Un », la suite (Sn) définit par Sn=
!!

(������������)
!!!

B/ Compléments
1)Différentes mise en évidence
a) Sous forme fonctionnelle Le terme général est donné en f(x) de la variable n. èUn = F(n) Exemple ������������ =   ������! + 2������ − 1 ������2 =   2! + 2 ∗ 2 − 1 = 7 ������10 =   10! + 2 ∗ 10 − 1 = 119 b) Sous forme récurrente La suite est défini par la donnée du 1er terme d’une relation liant le terme Un+1 et le terme Un. Exemple : Un+1 = F (Un) U1= U10 Un+1= 5-2Unc) Application On connaît les premiers terme de trois suite, conjectures dans chaque cas une formule explicite satisfaisante. A l’aide de cette formule calculer pour chaque suite, le terme indice -10 . (An) A1= 4 A2= 7 A3= 10 A4=13
  (Bn) B1= 0 B2= 1 B3= 8 B4=27 (Cn) C1= -1 C2= 4 C3= -9 C4=16 3
  è U2= 5-2*10= -15 U3= 5-2U2= 5-2*(-15)=35 pour tout entier n.

2) Caractéristiques
a) Sensde variation • Définition :

Soit (Un) une suite de nombre pairs, (Un) est dite décroissante lorsque quelque soit l’entier n, Un < Un+1. La suite (Un) est décroissante lorsque Un> Un+1. La suite est monotone si elle est soit croissante soit décroissante. Enfin on dira que la suite (Un) est stationnaire si quelque soit n on aura Un= Un+1. • Exemple :

Ø (Un) pour tout n  ≥ 2 On a Un= ������ −2 Un= (������ + 1)   − 2

Donc 0≤  n-2 ≤  n-1 (ou égal) b) Limite d’une suite • Définition :

On dit qu’une suite admet une limite l (ou elle converge vers l) lorsque tout intervalle ouvert centrée en, l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain indice. • Exemple :

Ø (Un) Un= 3- (1/2n) lim (2n)= +∞
nè+∞

;

lim ½ =0
nè+∞

donc lim
nè+∞

Un=3

Ø Un= (n+3)/ (n+5) = ( n+5/n+5) - (2/ n+5) = 1- (2/n+5) n ≥ 1 donc n positif strictement d’ou 1/n positif è 1/n > 0 2/n > 0 ç è 1+ (2/n) > 1+0 donc Un>1 Donc Bornée.

c) Suite minorée, majorée, bornée
1) Définition •
 

(Un) est minorée lorsqu’il existe un réel n on a Un≥ ������
4
 

• •

(Un) majorée lorsqu’il existe un nombre réel N tel que quelque soit le nombre n on a Un≤ ������ Unesuite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée.

2) Exemple (Un) = 1+ (2/n) n> 1 ;
!

n  ≥ 1

! !



! !
!

;

! !

≤    1
!

2 ∗ ! ≤ 1 ∗ 2 ≤=> ! ≤ 2  ; 1 + ! ≤ 2 = ������������   ≤ 3 Théorème de convergence : (Un) converge si elle est croissante majorée ou bien décroissante minorée.

II/ Suites arithmétiques : Un+1=Un+r A) Généralités
1) Définition,vocabulaire :
Une suite (Un) est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme à son terme suivant en ajoutant toujours le même nombre r.

2) Illustration :
(Un) : Un= 3n-2 U0 = 0-2= -2 U1= 3*1-2= 1 è (-2) pour aller à 1 = +3

3) Comment démontrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule pour tout indice n la différence entre 2 termes consécutifs Un et Un+1. Si on obtient une constant alors la...
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