|Chapitre I : Limites |

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1. Limite d’une fonction en l’infini

1.1. Limite finie

a) Définition
• Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers +∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0, f(x) appartient à cet intervalle.

• Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers −∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0, f(x) appartient à cet intervalle.

b) Notations :

• limx→+∞f(x)=L ou lim+∞f=L

• limx→−∞f(x)=L ou lim−∞f=L

|c |Propriété |

• Quand elle existe, la limite d’une fonction en l’infini est unique.

1.2. Limite infinie

| |Définition |

• Une fonction f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si, pour tout réel A, il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0, f(x)>A.

• Une fonction f tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si, pour tout réel A, il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0, f(x)A.

• Une fonction f tend vers −∞ quand x tend vers −∞ si, pour tout réel A, il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0, f(x)A.

• Une fonction f tend vers −∞ quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A, il existe un voisinage de a tel que pour tous les x appartenant à ce voisinage, f(x) 0) |u′2u−−√ |
|eu |u′eu |
|ln(u) (si u(x) > 0) |u′u |
|sin(u) |u′cos(u)