T S4 : 2 h
Devoir surveillé n° 1
Vendredi 28 septembre 2007

Soit (Un) la suite définie par son premier terme U0 , égal à 0, et la relation de récurrence
Un+1 = pour tout n de .
(On admet qu’une telle suite existe)
1° Calculer les trois premiers termes de cette suite.
2° Démontrer que, pour tout entier naturel n, – 1 Un 0.
3° On admet que Un est toujours différent de – et on alors pour tout entier naturel n, Vn =
a) Montrer que la suite (Vn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
b) Exprimer Vn en fonction de n.
4° Exprimer Un en fonction de Vn, puis en fonction de n
5 points

Démontrer que pour tout entier naturel n *, 12 + 22 + 32 + … + n2 =
3 points

Soit f la fonction définie par f (x) = a + où a et b sont deux réels strictement positifs à déterminer.
C f est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; ; ).
1° Déterminer l'ensemble de définition de f
2° a) Etudier la limite de f en + .
b) Etudier la limite de f en b
En déduire les réels a et b sachant que les droites d’équation x = 2 et y = 5 sont des asymptotes à la courbe C f
3 points

Déterminer les limites suivantes (On justifiera soigneusement)
a)
b)
c)
d)
4 points

Soit une fonction f définie sur * et vérifiant :
La représentation graphique de f admet la droite d'équation y = x en – f (x) = 1 f (x) = + f est continue en 1 et f (1) = 2 f n'est pas continue en – 1 et f (–1) = 0
Partie 1
Tracer une représentation graphique possible pour cette fonction.
Partie 2
Pour chacune des trois questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
1° Soit g