Exercice 1 (bac S, Polynésie 1998, 10 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) d’unité graphique 1cm. On considère les nombres complexes a =

3 +1 3 −1 +i et z0 = 6 + 6i d’image A0 . Pour tout 4 4 entier n non nul on désigne par An le point d’affixe zn = a n z0 .
1. Exprimer z1 et a 2 sous forme algébrique. Ecrire z1 sous forme exponentielle et montrer

1 iπ que a = e 6 . 2 2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a 2 , en déduire l’expression de z3 et z7 en forme exponentielle. 3. Placer les points A0 , A1 , A3 , A7 , images respectives de z0 , z1 , z3 , z7 .
2

4. On pose maintenant, pour tout entier naturel n, zn = rn . Montrer que, pour tout n, on a  2 rn = 12   2  . En déduire la nature de la suite ( rn ) et sa limite. Interpréter le résultat    obtenu. 5. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que OAp < 10−3 et donner alors une mesure de l’angle orienté u , OAp

Exercice 2 (bac S, Amérique du Sud, 2004, 10 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) .
On désigne par A et B les points d’affixes respectives 2 et –2. A tout point M d’affixe z différente de 2, on associe le 2z − 4 point N d’affixe z et le point M’ d’affixe z ' = . z−2 1.
Calculer z ' et z ' lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i .
2. Interpréter géométriquement z − 2 et z − 2 . Montrer que, pour tout z distinct de 2, z ' = 2 . En déduire une information sur la position de M’.
3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que M’ soit égal à B. 4. On note z AM et z BM ' les affixes respectives des vecteurs AM et BM ' . Montrer que, pour tout point M distinct de A et n’appartenant pas à E, le quotient z AM z BM 'est un nombre réel.

Interpréter géométriquement ce résultat. 5. Un point M distinct de A et n’appartenant pas à E étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point M’. On illustrera par une