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1542 mots 7 pages
´trie
1. Trigonome
1.1. D´ efinition. Soit x un nombre r´eel quelconque. On d´efinit les nombres cos(x) et sin(x) au moyen de la proc´edure suivante :
(i) Sur le cercle unit´e centr´e a` l’origine, mesurer un angle de x radians ; soit (u, v) le point du cercle d´etermin´e de cette mani`ere. (On commence `a mesurer l’angle `a partir de l’axe horizontal positif.)
(ii) D´efinir cos(x) = u et sin(x) = v.
1.2. Exemple. Trouver les valeurs de cos(−5π/2) et sin(−5π/2) (sans la calculatrice).
Solution : suivons les ´etapes (i) et (ii) de la d´efinition ci-dessus.
(i) Sur le cercle unit´e centr´e a` l’origine, mesurer un angle de −5π/2 radians ; soit (u, v) le point du cercle d´etermin´e de cette mani`ere. v u

(u, v)

(ii) On trouve que (u, v) = (0, −1) ; donc cos(−5π/2) = u = 0 et sin(−5π/2) = v = −1.
1.3. Exercice. Utilisez la m´ethode de l’Exemple 1.2 pour trouver les valeurs de cos(x) et sin(x) pour x = 0, x = π2 , x = π, x = 3π
, x = 2π.
2
1.4. Il y a une deuxi`eme m´ethode pour calculer les valeurs de cos(x) et sin(x), mais elle fonctionne seulement pour les x satisfaisant 0 < x < π/2. Voici cette m´ethode :
Soit x un nombre r´eel satisfaisant 0 < x < π/2. On forme un triangle rectangle dont un des angles est x : c b

x a Alors cos(x) = a/c et sin(x) = b/c.
Notez bien que, si x satisfait 0 < x < π/2, alors les deux m´ethodes (celle de 1.1 et celle de 1.4) donnent les mˆemes valeurs pour cos(x) et sin(x). Pour s’en convaincre, il suffit de regarder le dessin suivant :

1

2

Cercle de rayon 1 centr´e `a l’origine
(u, v)

c

b

x a o` u a = u, b = v et c = 1.

D’une part, la d´efinition 1.1 dit que cos(x) = u et sin(x) = v.
D’autre part, la m´ethode de 1.4 dit que cos(x) = a/c et sin(x) = b/c.
Puisque a = u, b = v et c = 1, on voit que les deux m´ethodes donnent les mˆemes valeurs pour cos(x) et sin(x).
1.5. Exemple. Utilisons la m´ethode de 1.4 pour calculer cos(π/4) et sin(π/4). On dessine le
triangle

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