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Pages: 10 (2259 mots) Publié le: 16 janvier 2011
Les Suites
I. G´n´ralit´s sur les suites e e e
Dans tout le cours, on consid`re des suites (un )d´finies sur N les entiers naturels. e e

1. Suites croissantes, suites d´croissantes e D´finitions e
Une suite (un ) est croissante si pour tout entier n, un un+1 . Une suite (un ) est d´croissante si pour tout entier n, un un+1 . e Remarques : ­ Une suite croissante, une suite d´croissante sontdites monotones. e ­ Il existe des suites ni croissantes, ni d´croissantes. e Exemple : La suite (un ) d´finie par un = (-1)n est une suite ni croissante, ni d´croissante. e e M´thode : e Pour ´tudier le sens de variation d’une suite (un ), on ´tudie le signe de la diff´rence un+1 - un . e e e un 1 et 1. Si tous les un sont strictement positifs, on compare un Exemple 1 : Soit la suite (un ) d´finiepour tout entier naturel n par : un e ´ Etudier le sens de variation de la suite (un ). 2n   3 . n 2

Pour ´tudier le sens de variation de la suite (un ), on ´tudie le signe de la diff´rence un+1 - un . e e e 2Ôn   1Õ   3 2n   3 un 1 ¡ un Ôn   1Õ   2 ¡ n   2 2n   5 2n   3 ¡ n 2 n 3 Ô2n   5ÕÔn   2Õ ¡ Ô2n   3ÕÔn   3Õ Ôn   3ÕÔn   2Õ 2n2   4n   5n   10 ¡ 2n2 ¡ 6n ¡ 3n ¡ 9 Ôn   3ÕÔn   2Õ 1 Ôn   3ÕÔn   2ÕEt, pour tout entier naturel n, n + 3 0 et n + 2 0. 1 Donc : pour tout entier naturel n, Ôn   3ÕÔn   2Õ 0 D’o` : pour tout entier naturel n, un+1 - un 0, soit un+1 un . u La suite (un ) est croissante. Exemple 2 : Soit la suite (un ) d´finie pour tout entier naturel n par : un e ´ Etudier le sens de variation de la suite (un ). 3n 5n

Tous les termes de la suite (un ) sont strictement positifs.Pour ´tudier le sens de variation de la suite (un ), e un 1 et 1. on compare un n 1 3 n un 1 3n 1 5n 1 ¢ 5n 3 n 3 un 5n 1 3 5 5n 3 Or, 1, donc la suite (un ) est strictement d´croissante. e 5

Fiche issue de http://www.ilemaths.net

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Th´or`me e e
Soit (un ) une suite d´finie par un = f (n), avec f d´finie sur [0 ; + [ e e Si f est strictement croissante, alors (un ) est strictementcroissante. Si f est strictement d´croissante, alors (un ) est strictement d´croissante. e e D´monstration : e est strictement croissante : Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement croissante, donc : f (n + 1) D’o` : pour tout entier naturel n, un+1 un . u La suite (un est donc strictement croissante.

­ cas o` f u

f (n)

est strictement decroissante : Pour tout entier naturel n,la fonction f est strictement d´croissante, donc : f (n + 1) e D’o` : pour tout entier naturel n, un+1 un . u La suite (un ) est donc strictement d´croissante. e

­ cas o` f u

f (n)

Ce th´or`me ne s’applique pas si la suite (un ) est d´finie par r´currence (un+1 = f (un )). Les variations de la e e e e fonction f et de la suite (un ) ne sont pas toujours les mˆmes. e Exemple 3 : Soit lasuite (un ) d´finie pour tout entier naturel n par wn e ´ Etudier le sens de variation de la suite (un ). Soit f la fonction d´finie sur ]-1 ; + [ par f ÔxÕ e 2n ¡ 3 . n 1

2x ¡ 3 . x 1 La fonction f est d´finie en particulier sur [0 ; + [ et est d´rivable sur cet intervalle. On a, pour tout x de e e [0 ; + [ : 2Ôx   1Õ ¡ Ô2x ¡ 3Õ f ½ ÔxÕ Ôx   1Õ2 2x   2 ¡ 2x   3 Ôx   1Õ2 5 Ôx   1Õ2 Pour tout x de [0; + [, f ’(x ) 0. La fonction f est donc strictement croissante sur [0 ; + [. D’o` : la suite (un ) est strictement croissante. u Exercice : Soit la suite (vn ) d´finie pour tout entier naturel n par : e v0 1 1 vn   4 vn 1 2 ´ Etudier le sens de variation de la suite (vn ). On pose Dn vn 1 ¡ vn Pour tout entier naturel n, on¢ : a ª 1 1 vn   4 ¡ vn¡1   4 Dn vn 1 ¡ vn 2 2 1 Ôvn ¡ vn¡1 Õ 2 1 Dn¡1 2 1Comme 0, alors Dn est du signe de Dn-1 , qui lui-mˆme est du signe de Dn-2 . Et ainsi de proche en proche, e 2 on a : Dn est du signe de D0 . 7 1 Or, D0 = v1 - v0 = v0   4 ¡ v0 0 2 2 D’o` : pour tout entier naturel n, Dn 0. u Donc, pour tout entier naturel n, vn+1 vn La suite ( vn ) est strictement croissante.

Fiche issue de http://www.ilemaths.net

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Remarque : on dit qu’une suite est...
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