UNE INÉQUATION TRIGONOMÉTRIQUE (ASSEZ) SIMPLE
Résolvons dans R l'inéquation

cos(2x) > cos x − 1
La formule de duplication du cosinus permet de l'écrire sous la forme
2 cos2 x − 1 > cos x − 1 soit 2 cos2 x − cos x > 0

ou mieux

π
2

cos x(2 cos x − 1) > 0
On n'a plus qu'un tableau de signes à dresser, disons dans [0; 2π] (parce que cos est périodique, de période 2π )
On sait que cos x est positif pour x ∈ [0; π [ et x ∈] 3π ; 2π] et négatif ailleurs, c'est-à-dire dans ] π ; 3π [ ; cos x est nul en
2
2
2 2 et 3π :
2

Le facteur 2 cos x − 1 est positif si cos x > 1 , soit (dans [0; 2π]) si 0 ≤ x < π ou si 2π − π < x ≤ 2π
2
3
3
c'est-à-dire, en simpliant : 2 cos x − 1 > 0 si 0 ≤ x < π ou si 5π < x ≤ 2π .
3
3
Il est négatif ailleurs, s'annulant en x = π et 5π .
3
3
On obtient le tableau : x 0 π π 3π 5π 2π
3 2
2
3 cos x
+ + − + +
(attention, 3π < 5π car 9π < 10π )
2
3
6
6
2 cos x − 1
+ − − − + cos x(2 cos x − 1)
+ − + − +
On veut que ce produit soit strictement positif, donc la solution dans [0; 2π] est [0; π [∪[ π ; 3π [∪] 5π ; 2π]
3
2 2
3
Vérications diverses
1) Avec une calculette :
On veut avoir cos(2x) − cos x + 1 > 0
Traçons avec la fonction Graph la courbe d'équation Y=cos(2X)-cos(X)+1, en choisissant 0 ≤ X ≤ 2π on obtient

2) Avec Maple ou Xcas-GIAC :
On peut aussi le faire graphiquement en tapant

ce qui conrme bien notre solution dans [0; 2π]
1

6, 28... :

UNE INÉQUATION TRIGONOMÉTRIQUE (ASSEZ) SIMPLE

plot(cos(2*x)-cos(x)+1,x=0..2*Pi) ;
On obtient un graphique équivalent au précédent.
3) Avec Maple : on peut taper solve(cos(2*x)>cos(x)-1,x) ;
(pas de réponse)
Et en tapant fsolve(cos(2*x)>cos(x)-1,x) ;
(toujours rien !)
4) Avec Xcas-GIAC :
Réponse compliquée : xcos(x)-1,x) on obtient 0 (c'est hélas faux) et avec evalf(solve(cos(2*x)>cos(x)-1,x)) on obtient
-5.23598775598>x x>(-(3*pi)/2) && (-pi/2)>x, etc..

2