math

4021 mots 17 pages
Exo7
Nombres complexes

1

Forme cartésienne, forme polaire

Exercice 1
Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres :
3 + 6i
3 − 4i
Indication

Correction

;

2

1+i
2−i

+

3 + 6i
3 − 4i

;

2 + 5i 2 − 5i
+
.
1−i
1+i

Vidéo

[000001]

Exercice 2
Écrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2 et d’argument π/3.
2. Nombre de module 3 et d’argument −π/8.
Indication

Correction

Vidéo

Exercice 3
Calculer le module et l’argument de u =
Indication

Correction

[000003]



6−i 2
2

et v = 1 − i. En déduire le module et l’argument de w = uv .

Vidéo

[000011]

Exercice 4
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ee Indication

2

Correction



eiθ + e2iθ .

et

Vidéo

[000013]

Racines carrées, équation du second degré

Exercice 5
Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i.
Indication

Correction

Vidéo

[000027]

Exercice 6
1. Calculer les racines carrées de

1+i
√ .
2

En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).

2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).

1

Indication

Correction

Vidéo

[000029]

Exercice 7
Résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0

;

z2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0

;

√ z2 − 3z − i = 0

;

z2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z2 − 2z + 1 = 0 ; z4 + 10z2 + 169 = 0
Indication

3

Correction

;

z4 + 2z2 + 4 = 0.

Vidéo

[000031]

Racine n-ième

Exercice 8
Calculer la somme Sn = 1 + z + z2 + · · · + zn .
Indication

Correction

Vidéo

[000047]

Exercice 9
1. Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s’écrivent 1, j, j2 . Calculer 1 + j + j2 et en déduire les racines de 1 + z + z2 = 0.
2. Résoudre zn = 1 et montrer que les racines s’écrivent 1, ε, . . . , ε n−1 . En déduire les racines de 1 + z + z2 +
· · · + zn−1 = 0. Calculer, pour p ∈ N, 1 + ε p +

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