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Exo7Nombres complexes
1
Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1
Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres :
3 + 6i
3 − 4i
Indication
Correction
;
2
1+i
2−i
+
3 + 6i
3 − 4i
;
2 + 5i 2 − 5i
+
.
1−i
1+i
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[000001]
Exercice 2
Écrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2 et d’argument π/3.
2. Nombre de module 3 et d’argument −π/8.
Indication
Correction
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Exercice 3
Calculer le module et l’argument de u =
Indication
Correction
[000003]
√
√
6−i 2
2
et v = 1 − i. En déduire le module et l’argument de w = uv .
Vidéo
[000011]
Exercice 4
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ee Indication
2
Correction
iα
eiθ + e2iθ .
et
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[000013]
Racines carrées, équation du second degré
Exercice 5
Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i.
Indication
Correction
Vidéo
[000027]
Exercice 6
1. Calculer les racines carrées de
1+i
√ .
2
En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).
2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).
1
Indication
Correction
Vidéo
[000029]
Exercice 7
Résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0
;
z2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0
;
√ z2 − 3z − i = 0
;
z2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z2 − 2z + 1 = 0 ; z4 + 10z2 + 169 = 0
Indication
3
Correction
;
z4 + 2z2 + 4 = 0.
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[000031]
Racine n-ième
Exercice 8
Calculer la somme Sn = 1 + z + z2 + · · · + zn .
Indication
Correction
Vidéo
[000047]
Exercice 9
1. Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s’écrivent 1, j, j2 . Calculer 1 + j + j2 et en déduire les racines de 1 + z + z2 = 0.
2. Résoudre zn = 1 et montrer que les racines s’écrivent 1, ε, . . . , ε n−1 . En déduire les racines de 1 + z + z2 +
· · · + zn−1 = 0. Calculer, pour p ∈ N, 1 + ε p +