Maths-Limites de fonctions
2003 mots
9 pages
Chapitre 2 :COMPLÉMENT SUR LES FONCTIONS
DÉRIVATIONS ET CONTINUITÉ
I. Dérivation
1) Rappels : définitions
Soit C une courbe
Soit A un point fixé de C.
La tangente T à C en A, si elle existe, est la position limite d'une courbe = (AM) lorsque M tend vers A.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Soit a un point appartenant à I.
Si C admet un point d'abscisse à une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées, f est dite dérivable en a.
Le coefficient directeur de la tangente noté f'(a) est le nombre dérivé de f en a.
Si x∈ I, M(x;f(x))
La corde (AM) « tend » vers la tangente lorsque M→A.
Son coefficient directeur tend vers f'(a) lorsque x tend vers a.
On note : lim f(x)−f(a)
= f′(a)
x−a
x→a
• si h=x-a : lim f(a+h)−f(a) h h→0
= f′(a)
Exemple : f(x)=x²
f(x)−f(a) x−a =
x2 −a2 x−a =
a∈ ℝ avec x≠ a
(x−a)(x+a) x−a =x+a
lim
x→a
f(x)−f(a) x−a = 2a
f ′ (a) = 2a
2) Formules de dérivation
(cf fiche)
(uv)'=u'v+uv'
Montrons par récurrence que si n∈ℕ* :
(un)=nun-1u'
Pn « (un)=nun-1u' »
Initialisation : n=1
(u1)'=u'
1 x u1-1 x u'=1 x 1 x u'=u' donc P1 est vraie
Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier fixé n quelconque.
(un)=nun-1u'
(un+1)= ? un+1=u1 x un
=u x v avec v=un
(un+1)'=u'v+uv
=u' x un+u x nun-1u'
=u' x un+ n x u x un-1u'
=1 x u'un+ n x unu'
=(1+n)unu'
Pn+1 est vraie. La propriété est héréditaire.
f(x)→f'(x) et f(u)→f'(u) x u'
II. Limites de fonctions
1) Limite d'une fonction en +∞
Soit une fonction définie au voisinage de +∞ (« au minimum » sur un intervalle de [a ;∞[
a. lim f(x)=+∞ x→+∞ f(x) tend vers +∞ si et seulement si pour tout réel M, « à partir » d'une valeur A : f(x)⩾ M
∀ M∈ ℝ, ∃ A∈ ℝ, x⩾A⇒ f(x) ⩾M
Exemples : lim x²=+∞ x→+∞ ;
lim √x=+∞
x→+∞
b. lim f(x)=-∞ x→+∞ f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers -∞ si et seulement si, pour tout réel M, « à partir » d'une valeur A : f(x)≤M
∀ M∈ ℝ, ∃ A∈ ℝ, x≤A⇒f(x)≤M
c. lim f(x) = l ∈ ℝ x→+∞ Exemples :