Taux d'évolution

Pages: 5 (1111 mots) Publié le: 6 octobre 2010
Taux d'évolution, cours de Terminale STG
F.Gaudon 7 novembre 2007

Table des matières
1 Évolutions 2 Évolutions successives
2.1 Taux global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Taux moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Moyenne géométrique . . . . . . . . . 2.2.2 Application au calcul de taux moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 3
3 4 4 5

3 Indices de base 100 4 Approximations de taux faibles

5 6

1

1

Évolutions
Si une quantité évolue à partir d'une valeur y1 de départ d'un taux t (augmentation si t > 0, diminution si t < 0), alors la valeur nale y2 est :
y2 = (1 + t)y1 1 + t est appelé le baisse.

Propriété et dénition :

coecient multiplicateur associé à la hausse ou à la

multiplicationpar 1+t

y1
multiplication par 1/(1+t)

y2

Propriété et dénition :
1 Le coecient multiplicateur permettant de passer de y2 à y1 est 1+t . Le 1 taux d'évolution associé est 1+t − 1 et est appelé taux réciproque.

Preuve :
y2 = (1 + t)y1 y2 y1 = 1+t 1 y1 = y2 1+t

Le prix du gasoil a augmenté de 20% en un an. Son prix actuel est de 1,07e par litre. 20 1, 07 ÷ (1 + 100 ) ≈ 0, 89. Il ya un an le litre de gasoil valait 0,89e. 2

Exemple :

Propriété :
Si une quantité varie d'une valeur initiale y1 à une valeur nale y2 alors le taux d'évolution est :
t= y2 − y1 y1

Preuve :
y2 = (1 + t)y1 y2 = y1 + ty1 y2 − y1 = ty1 y2 − y1 t= y1

Preuve

Exemple :

L'indice CAC40 de la bourse de Paris est passé de 5327 points à 4784 points. 4784−5327 × 100 ≈ −10, 2. 5327L'indice a donc baissé de 10,2%. Dans l'exemple précédent, le coecient multiplicateur est 4784 ≈ 0, 898. Le 5327 coecient multiplicateur réciproque est 5327 ≈ 1, 114 d'où un taux 4784 réciproque de 0,114 soit 11,4% ce qui signie qu'une augmentation de 4784 points à 5327 points aurait été de 11,4%, pas de 10,2%.

Exemple :

2
2.1

Évolutions successives
Taux global

Propriété et dénition :3

Si une quantité subit n évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux t1 , t2 , . . ., tn à partir d'une valeur initiale y1 , alors la quantité nale est :
y2 = (1 + t1 )(1 + t2 ) . . . (1 + tn )y1 (1 + t1 )(1 + t2 ) . . . (1 + tn ) est le (1 + t1 )(1 + t2 ) . . . (1 + tn ) − 1 est le

coecient multiplicateur global. taux global.

Exemple :

La population d'uneville augmente de 2,3% en un an puis diminue de 3,4% les deux années suivantes.
(1 + 3, 4 2 2, 3 )(1 − ) ≈ 0, 9546 100 100

Le coecient multiplicateur global est 0,9546 soit un taux global d'évolution de 0, 9546 − 1 = −0, 0453 soit une baisse de 4,53% (remarque : ce n'est pas la somme des taux successifs : 2, 3 − 3, 4 − 3, 4 = −4, 5).
2.2 Taux moyen

Pour dénir le taux moyen, nous avons toutd'abord besoin d'une nouvelle dénition mathématique.

2.2.1 Moyenne géométrique Propriété et dénition :
Pour tout a réel strictement positif et pour tout entier naturel n non nul, l'équation xn = a admet une unique solution appelée racine n-ième de a √ 1 et notée n a ou a n .

Preuve :

voir chapitre sur les exposants non entiers.
√ 3 8 = 2. Si un nombre x

Exemple :

Si un réel xvérie x3 = √ alors x = 2 on a donc 8 4 vérie x = 54 alors x = 4 54 ≈ 2, 71.

Dénition :
4

On appelle moyenne géométrique et n nombres a1 , a2 , . . ., an strictement positifs, le nombre
√ n a1 a2 . . . an = (a1 a2 . . . an ) n
1

.

2.2.2 Application au calcul de taux moyens Propriété et dénition :
Si une quantité subit n évolutions successives de taux t1 , t2 , . . ., tn , onappelle alors coecient multiplicateur moyen le nombre
((1 + t1 )(1 + t2 ) . . . (1 + tn )) n
1

et taux

moyen le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre
((1 + t1 )(1 + t2 ) . . . (1 + tn )) n − 1
1

Un prix initial de 100 e subit une augmentation de 2 % puis une baisse de √ 2 30 30 %. (1 + 100 )(A − 100 ) = 0, 714 ≈ 0, 8450. En outre, 0, 8450 − 1 = −0, 1550 soit 15,5 % de baisse...
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