Module et conjugué d'un nombre complexe

Nombres complexes

On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,

Définition - Propriétés
Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR
On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z).
Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1.
Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

le réel positif |z| =
|z| = 0 ⇔ z = 0

a2 + b 2 .
;

|zz'| = |z|.|z'|

;

|- z| = |z|

;

1 = 1
|z|
z

;



•

L'équation az2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a # 0) admet dans C
I deux solutions (éventuellement confondues).
Soit ∆ = b2 - 4ac le discriminant de l'équation. ∆ est un nombre réel.
• si ∆ ³ 0 , les deux solutions sont réelles z1 = -b - ∆ et z2 = -b + ∆
2a
2a
• si ∆ £ 0 , on peut écrire ∆ = (i δ)2 avec δ ∈ IR, les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre) et z2 = -b + i δ z1 = -b - i δ
2a
2a
Le trinôme az2 + bz + c se factorise sous la forme a(z - z1)(z - z2)

• Si z' # 0



z + z' = z + z'

1 = 1
z'
z'





z - z' = z - z' ;

;



zz' = z . z'



;



z = z
z'
z'


• Re(z) = z + z ; Im(z) = z - z
2
2i

;
• z est réel ⇔ z = z



z est imaginaire pur ⇔ z = - z

Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z|
→

Si V a pour affixe z , alors

→

|| V || = |z|.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

Représentation géométrique d'un nombre complexe
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, au nombre complexe z = a + bi ,

Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme :

on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur V (a ; b).

z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+

z = a + bi est l'affixe de M et de