3i

Im(z). Remarque 2 Nombres particuliers : • si b = 0, on a z = a, z est donc réel, • si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple 1 Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire : ➔ z = 2 + 3i a=2 b=3 a = −1 b = 12 ➔ z = −1 + 12 i ➔ z = −i a=0 b = −1 ➔ z=π a=π b=0 ➔ z = 4i − 31 a = − 13 b = 4. Propriété 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : z = z ′ ⇔ a + ib = a′

imaginaire. O x 2.2 Exercices Déterminer l'image, dans le plan complexe, de chacun des nombres complexes suivants : 1. 0 4. i 7. 1-i 2. 1 5. -2i 8. 2-3i 3. -3 6. 1+i 27/12/2013 CNDP Erpent - Les nombres complexes XVII - 1 3. Règles de calcul 3.1 Addition de deux nombres complexes (a + bi ) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i Ex : (3 + 5i) + (-6 - 2i) = -3 + 3i 3.2 Produit de deux nombres complexes (a + bi ) . (a' + b'i) = aa' + iab' + ia'b + i2 bb' = (aa' - bb') + i (ab' + a'b) Ex : (3 + 5i) . (6 -

0 ⇐⇒ (z +1)2 −1+10 = 0 ⇐⇒ (z +1)2 +9 = 0 ⇐⇒ (z +1)2 −(3i)2 = 0 ⇐⇒ (z + 1 + 3i)(z + 1 − 3i) = 0. L’équation a donc deux solutions complexes conjuguées : {−1 − 3i ; −1 − 3i}. Autre méthode : ∆ = 4 − 40 = −36 = (6i)2 . . . 2. 3. −2c + d = 1 + 13i ⇒ par différence c = 3 − 5i, d’où d = c + 4 + 8i = 3 − −c + d = 4 + 8i 5i + 4 + 8i = 7 + 3i. a. Voir la figure à la fin de l’exercice. − b. On a z−→ = −1 − 3i − (−1 + 3i) = −6i. AB −→ = 7 + 3i − (−1 + 3i) = 8. − zAD − − → → −→ − − → − → → − − On a donc AB =

(x, y) on associe son affixe z= x+iy dans l’ensemble ℂ des nombre complexes Déterminer le point invariant et le rapport de la similitude plane directe S de ( P ) qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z ' = ( 4 − 3i ) z + 3 + 9i 3) on pose A ' = S ( A ) ; B ' = S ( B ) et C ' = S ( C ) a) calculer les coordonnées des points A’, B’et C’ b) Déterminer le barycentre des points A’(1) ; B’ (-2) et C’(2) ( P ) dans EXERCICE 8 3 3 A 2i 3 ; B 6 + 2i 3 ; C  + i 

« z+iz′=3+4i ñ z=3 et z′=4 » est fausse en effet, si z=1+3i et z′=1−2i, z+iz′=1+3i +i(1−2i)=1+3i+i−2i²=3+4i Compléter la case vide par = , dans les propositions suivantes quand c’est possible : Dans le plan muni du repère orthonormal (O,Å,Å), on considère les points A et B de coordonnées u v cartésiennes respectives (2,−3) et (-4,6) . On note leurs affixes respectives zA et zB alors : A AB (2,−3) ; A 2−3i ; zA = 2−3i ; zÄ = 2−3i ; Ä = Ä− Ä ; AB OB OA OA −6+9i ; zÄ = -6+9i AB ; OB -2OA

points)   → → Dans le plan complexe ( ) muni d' un repére orthonormé direct (O, u , v ) d'unité 2 cm , on considère les points A et B d'affixes respectives zA = – 1 et zB = 3i . Soit la fonction f du plan complexe ( ) privé du point A, dans ( ) qui a tout point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe z' défini par :  z − 3i  z′ = i   (1)  z +1  1- Soit C le point d'affixe zC = 2 – i .Montrer qu'il existe un seul point D , dont on déterminera l'affixe tel que f( D ) = C 2- Déterminer la

Im(z). Remarque 2 Nombres particuliers : • si b = 0, on a z = a, z est donc réel, • si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple 1 Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire :   z = 2 + 3i a=2 b=3 a = −1 b= 1   z = −1 + 1 i 2 2   z = −i a=0 b = −1   z=π a=π b=0 1   z = 4i − 3 a = −1 b = 4. 3 Propriété 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : z = z ′ ⇔ a + ib

(2 – i)2 = 4 – 4i + i2 = 3 – 4i ; (2 – i)3 = (3 – 4i)(2 – i) = 6 – 3i – 8i + 4i2 = 2 – 11i ; (2 + i)3 = 2 + 11i. b. (2 – i)3 + (2 + i)3 = 2 – 11i + 2 + 11i = 4. Donc (2 – i)3 + (2 + i)3 est bien solution de l’équation (E2) de l’activité 2. 2 z1 + z2 = (2 + 3i) + (4 – i) = 6 + 2i et z1⋅z2 = (2 + 3i)(4 – i) = 8 – 2i + 12i – 3i2 = 11 + 10i. 3 a. (2 + 3i)(2 – 3i) = 2 2  – (3i) 2  = 9 + 4 = 13 2 - 3i 2 - 3i  = 1 donc 2 + 3i et sont 13 13 inverse l’un de l’autre. b. (a + ib)(a – ib) = a2 – (ib)2 = a2 + b2

du vecteur AB ; r - Déterminer les composantes du vecteur V perpendiculaire AB à appartenant au plan (0, x, y). Corrigé : r r r r r r r r AB = ( xB − xA ).i + ( yB − y A ). j + ( z B − z A ).k = (5 − 2).i + (7 − 3). j + (− 3 + 3).k = 3i + 4 j 1. Caractéristiques du vecteur AB : a. Module : AB = 32 + 42 = 5 b. Les composantes : xAB = 3 , y AB = 4 c. La direction (le support) : Obtenu en déterminant les cosinus directeurs :  x  r 3 cos(i , AB) = cos AB  = cos  = 0,6

SOMMAIRE Première partie : La pédagogique……………………………………………………………..2 I- Au niveau pédagogique………………………………………………….…………..3I-1- Les résultats scolaires…………………………………………………………………3I-1-1- La composition du mois de novembre………………………………………….3I-1-2- La composition du mois de janvier……………………………………………...3I-1-3- La composition du mois de mars…………………………………………………4I-1-4- La composition du mois de mai…………………………………………………..4I-1-5- Résultats de fin d’année……………………………………………………………..4I-2- Taux d’exécution des programmes