Abraham de Moivre

L’interactivité permet au responsable de l ’étude de convaincre le client sur la validité des résultats de l ’étude. Chargé d ’études quantitatives  S.zkim Quelques fondateurs(1) Pierre de Fermat (1601 - 1665) Blaise Pascal (1623 - 1662) Abraham de Moivre (1667 - 1754) Chargé d ’études quantitatives Jacques Bernouilli (1654 - 1705) Thomas Bayes (? - 1763)  S.zkim Quelques fondateurs(2) Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Francis Galton (1822 - 1911) Karl Pearson (1857- 1936) Chargé

∈ IR∗+ C’est la plus importante des lois de probabilit´e continues. Des questions tant th´eoriques que pratiques font appel `a cette loi (souvent loi limite). Historiquement elle apparaˆıt vers 1773 comme la forme limite de la loi binomiale (Abraham de Moivre). Gauss en 1809 et Laplace en 1812 lui donn`erent sa forme d´efinitive. • d´efinition (fonction densit´e): Une v.a. suit une loi de Laplace-Gauss de param`etres µ et σ si sa fonction densit´e est: f (t) = 1 t−µ 2 − ( ) 1 √ e 2 σ σ 2π pour t

R+ C’est la plus importante des lois de probabilit´ continues. Des questions e tant th´oriques que pratiques font appel ` cette loi (souvent loi limite). Hise a toriquement elle apparaˆ vers 1773 comme la forme limite de la loi binomiale ıt (Abraham de Moivre). Gauss en 1809 et Laplace en 1812 lui donn`rent sa forme e d´finitive. e e • d´finition (fonction densit´): Une v.a. suit une loi de Laplace-Gauss de e param`tres µ et σ si sa fonction densit´ est: e e f (t) = 1 t−µ 2 − ( ) 1 √ e 2 σ σ 2π pour

C’est la plus importante des lois de probabilit´ continues. Des questions e tant th´oriques que pratiques font appel ` cette loi (souvent loi limite). Hise a toriquement elle apparaˆ vers 1773 comme la forme limite de la loi binomiale ıt (Abraham de Moivre). Gauss en 1809 et Laplace en 1812 lui donn`rent sa forme e d´finitive. e e • d´finition (fonction densit´): Une v.a. suit une loi de Laplace-Gauss de e param`tres µ et σ si sa fonction densit´ est: e e f (t) = 1 t−µ 2 − ( ) 1

seulement. 1693 : Edmund Haley utilise les tables de survie pour calculer le coût de l’assurance vie. Cent ans après, les compagnies d’assurance généraliseront cette approche en utilisant l’espérance de vie basée sur les probabilités. 1733 : Abraham de Moivre découvre la distribution normale et élabore le concept d’écart-type. Plus l’écart-type est élevé est plus le risque de volatilité autour de la moyenne sera important. 1738 : La théorie de l’utilité. Daniel Bernoulli montre qu’une personne qui

fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss. Histoire des mathématiques • Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (XVIIe siècle) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'Analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus

l’échantillon. Même si cela n’est pas toujours apparent, le nombre de degrés de libertés est égal au nombre de valeurs recueillies ou de classes examinées, diminué du nombre de contraintes numériques, explicites ou implicites. de Moivre-Laplace (théorème de) (Moivre-Laplace limit theorem) Dénomination historique du théorème central limite (voir central limite (théorème)) lorsqu’il est énoncé dans le cas particulier d’une somme de v.a. de Bernoulli. dénombrable (enumerable, countably infinite)

U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e ∀n ∈ Z, cos θ = eiθ + e−iθ 2 einθ = eiθ n 1 = e−iθ eiθ (R,+) −→ (U,×) θ → eiθ sin θ = eiθ − e−iθ 2i Ces deux formules, plus la formule du binˆme et le calcul de sommes g´om´triques sont fondao e e mentales en trigonom´trie. e On utilise ´galement la factorisation de l’angle moiti´ : e e eix + 1 = e 2 ix e 2 + e− 2 ix ix = 2e 2 cos ix x 2 x 2 eix − 1 = e 2 a Abraham b Leonhard ix e 2 − e− 2

Formules de De Moivre a et d’Euler b e e einθ = eiθ ∀n ∈ Z, cos θ = eiθ + e−iθ 2 sin θ = n eiθ − e−iθ 2i Ces deux formules, plus la formule du binˆme et le calcul de sommes g´om´triques sont fondao e e mentales en trigonom´trie. e On utilise ´galement la factorisation de l’angle moiti´ : e e ix ix ix ix eix + 1 = e 2 ix e 2 + e− 2 ix e 2 − e− 2 eix − 1 = e 2 a Abraham ix = 2e 2 cos ix = 2ie 2 sin x 2 x 2 De Moivre, (26/05/1667)

Formules de De Moivre a et d’Euler b e e einθ = eiθ ∀n ∈ Z, cos θ = eiθ + e−iθ 2 sin θ = n eiθ − e−iθ 2i Ces deux formules, plus la formule du binˆme et le calcul de sommes g´om´triques sont fondao e e mentales en trigonom´trie. e On utilise ´galement la factorisation de l’angle moiti´ : e e ix ix ix ix eix + 1 = e 2 ix e 2 + e− 2 ix e 2 − e− 2 eix − 1 = e 2 a Abraham ix = 2e 2 cos ix = 2ie 2 sin x 2 x 2 De Moivre, (26/05/1667)