Abraham de Moivre

| = 1. 1 eix = ei(x−y) , = e−ix = eix iy e eix Formules d’Euler ∀(x, y) ∈ R2 , eix × eiy = ei(x+y) , eix + e−ix et eix + e−ix = 2 cos x. 2 eix − e−ix ∀x ∈ R, sin x = et eix − e−ix = 2i sin x. 2i ∀x ∈ R, cos x = Formule de Moivre ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, (eix )n = einx . c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr 

On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remise ou assimilés) de taille n, avec n Alors la variable aléatoire X suit approximativement une loi normale :    X  N ;  n  30, de moyenne X . Ce théorème dû aux mathématiciens De Moivre et Laplace est de démonstration très difficile. Il est admis ici. Remarque : il ne faut pas confondre l'écart-type de la variable aléatoire X (qui est définie sur l'ensemble n des échantillons possibles de taille n) avec l'écart-type d'un échantillon

. . . . . . . . . . . . . . . . 54 Module, argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

méthode de Holme et Papadimitriou π 1. Démontrer que pour tous θ ∈ ]0, [ et n ∈ * : 2 n  sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2. On considère, pour n ∈ 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ j =0 * ( ) n− j [On pourra utiliser la formule de Moivre] , le polynôme Pn défini par : n  Pn = 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 X n − j j =0 Démontrer que les n racines de Pn sont les réels : αk = cotan2 n kπ ,1 2n + 1 k n. 3. Montrer que : k =1 cotan2 kπ n( 2n − 1) = . 2n + 1 3

Formules de l'angle double Appelées aussi formules d'angle double, elles peuvent être obtenues en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition et en utilisant le théorème de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre avec n = 2. [pic] • Formules de linéarisation de degré 2 [pic] [pic] [pic] [pic] • Formules de réduction du carré Ces formules permettent d'écrire cos2(x), sin2(x) et tan2(x) en fonction du cosinus de l'angle double [pic]

. . . . . . . . . 2.3 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Argument et trigonométrie 3.1 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Formule de Moivre, notation exponentielle 3.3 Racines n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

) = 2tan( ) 1 - tan2 ( ) 10 coté adjacent à cos( ) = hypoténuse coté opposé à sin( ) = hypoténuse tan( ) = sin ( ) cos ( ) hyp oppo adjacent 11 Formules d’ Euler : ej + e-j cos( ) = 2 et ej - e-j sin ( ) = 2j Formule de Moivre : ( cos + sin )n = cos(n ) + sin(n ) M MEMENTO MATHÉMATIQUES M5 MATHEMATIQUES 2/2 VOLUMES 1 2 Désignation Cube (1) Parallélépipède rectangle (2) Pyramide (3) Tronc de pyramide (4) Cône (5) Tronc de cône (6) Sphère Secteur sphérique

= (1 + cos(2a)) / 2 tan²(a) = (1 - cos(2a)) / (1 + cos(2a)) tan(a) = sin(2a) / (1 + cos(2a)) = (1 - cos(2a)) / sin(2a) En posant t = tan(a/2) :  sin(a) = 2t / (1 + t²) cos(a) = (1 - t²) / (1 + t²) tan(a) = 2t / (1 - t²) Formule de Moivre ( cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na) Formules d'Euler cos θ = 1/2.(eiθ + e-iθ) sin θ = 1/(2i).(eiθ - e-iθ)

Formules d’Euler : cos      ei  ei 2 sin     ei  ei 2i Propriété :   ,   2 , on a : i) ei()  ei ei  ii) ei   ei      2 Conséquence:  n   cos   isin n  cos(n )  isin(n ) (Formule de Moivre). Définition : Pour tout complexe z non nul, il existe au moins un réel  tel que z  z  cos   isin  (forme trigonométrique). On note aussi : z  z ei (forme exponentielle de z).  s’appelle argument de z, noté arg(z). Remarque :  n’est pas

démonstration par l'absurde de l'axiome des parallèles) et Euler les équations aux dérivées partielles. On développe aussi le calcul infinitésimal avec l'anglais TAYLOR Brook (1685-1731) , l'écossais STIRLING James (1692-1770), et le français MOIVRE Abraham DE (1667-1754). On propose ainsi la formule de Stirling. On étudie les séries trigonométriques. Celles de la forme ?( an.cos nx + bn.sin nx )font leur apparition. En 1740 Euler introduit les surfaces à courbure constante ainsi que l’équation