Abraham de Moivre

cos(4θ ) = cos 4 θ − 6 sin 2 θ cos 2 θ + sin 4 θ sin(4θ ) = 2 sin(2θ ) cos(2θ ) sin(4θ ) = 4 sin θ cosθ (cos 2 θ − sin 2 θ ) sin( 4θ ) = 4 sin θ cos3 θ − 4 sin 3 θ cos θ 2.2 – Retrouver les expressions de sin(4θ ), cos(4θ ) en utilisant la formule de Moivre - (1 point) (cosθ + i sin θ ) 4 = cos(4θ ) + i sin(4θ ) (cosθ + i sin θ ) 4 = cos 4 θ + i 4 cos3 θ sin θ − 6 cos 2 θ sin 2 θ − i 4 cos θ sin 3 θ + sin 4 θ (cosθ + i sin θ ) 4 = (cos 4 θ − 6 cos 2 θ sin 2 θ + sin 4 θ ) + i (4 cos3 θ sin θ − 4 cos

l’intervalle [0 ; +∞[. e donn´e par d = e t1 v(t) dt. Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premi`res e secondes. 5 La R´union Septembre 2001 e 1. Restitution organis´e de connaissances e En utilisant la formule de Moivre, d´montrer que, pour tout r´el x : e e cos 2x = 1 − 2 sin 2 x et sin 2x = 2 sin x cos x 2. A l’aide de la d´riv´e de la fonction sinus, montrer que la limite en 0 de e e sin x est ´gale ` 1. e a x 3. Pour tout entier n non nul, on pose : Sn = sin

b ) = Formules d’Euler jθ en posant A= p+q p−q et D = 2 2 cos( p ) − cos( q ) = −2 sin( A). sin( D) cos( p ) + cos( q ) = 2 cos( A). cos( D) sin( p ) + sin( q) = 2 sin( A). cos( D) sin( p ) − sin( q) = 2 cos( A). sin( D) Formule de Moivre cos(θ ) = e +e 2 − jθ et sin( θ) = e jθ −e 2j − jθ (cos θ + sin θ ) n = cos(nθ ) + sin( nθ ) IUT CACHAN / Formulaire de Trigonométrie / S.POUJOULY 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Forme trigonométrique et forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formules de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Linéariser une expression 2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Équations du second degré à coefficients réels 1 1 3 5 6 6 7 7 1 1.1 Écritures d’un nombre complexe

Indication pour l’exercice 13 Pour l’interprétation géométrique cherchez le parallélogramme. Indication pour l’exercice 15 Utiliser la formule d’Euler pour faire apparaître des cosinus. Indication pour l’exercice 16 Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquant ei5θ = (eiθ )5 . 5 Correction de l’exercice 1 Remarquons d’abord que pour z ∈ C, zz = |z|2 est un nombre réel, ce qui fait qu’en multipliant le dénominateur par son conjugué nous obtenons un nombre réel. 3 + 6i (3 + 6i)(3 +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Formules de MOIVRE et d’EULER 10 V.1 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V.2 Formules d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Lignes de niveau 11 VIIÉquations

que de la taille de l'échantillon. Le deuxième théorème fondamental des probabilités, le théorème central limite, apparut peu de temps après pour mesurer cette erreur. Dans le livre The Doctrine of Chance, publié en 1718 par le mathématicien de Moivre, né en France en 1667, mais émigré en Angleterre après la révocation de l'édit de Nantes car il était protestant, apparaît ce théorème pour la première fois. Il s'agit ici de voir que si on lance une pièce de monnaie un certain nombre de fois, la

On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remise ou assimilés) de taille n, avec n  30, de moyenne X . Alors la variable aléatoire X suit approximativement une loi normale : s ö æ X Ê N çm; ÷ nø è Ce théorème dû aux mathématiciens De Moivre et Laplace est de démonstration très difficile. Il est admis ici. Remarque : il ne faut pas confondre l'écart-type de la variable aléatoire X (qui est définie sur l'ensemble n des échantillons possibles de taille n) avec l'écart-type d'un échantillon

GEN1153 CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE ´ ´ 1.6.2 Proprietes de la forme polaire 1. z = ρ∠θ ↔ z∗ = ρ∠(−θ) 2. z1 = ρ1 ∠θ1 et z2 = ρ2 ∠θ2 (a) z1 · z2 = ρ1 · ρ2 ∠(θ1 + θ2 ) z1 ρ1 = ∠(θ1 − θ2 ) z2 ρ2 3. z = ρ∠θ ⇒ zn = ρn ∠(n · θ) (formule de Moivre) (b) 4. 1 1 = ∠(−θ) z ρ 1.7 Forme exponentielle La repr´ sentation du nombre complexe sous forme exponentielle est aussi possible e grˆ ce a la formule d’Euler. a ` ejθ = cos θ + j sin θ z = ρ∠θ = ρ(cos θ + j sin θ) = ρejθ Propri´ t´ s :

des nombres complexes. ▶ Calculs dans C : binôme, série géométrique, série arithmétique, conjugaison, module, propriétés. ▶ L’exponentielle complexe : rappel sur l’exponentielle réelle, définition de θ , propriétés (équation fonctionnelle, formule de Moivre, formules d’Euler, etc.), forme polaire d’un nombre complexe, argument d’un nombre complexe, propriétés, prolongement de l’exponentielle à C, le groupe (U, ×). ▶ Equations du second degré : racines carrées d’un nombre complexe non nul, méthode pratique