Arc cosinus

Feuille de cours 1 SVE 101 2010/2011 Formulaire pour le calcul int´ egral. 1 D´ eriv´ ees des fonctions usuelles. Fonction f (x) D´eriv´ee f (x) Domaine k 0 I=R x 1 I=R xn nxn−1 I = R et n ∈ N − {0} 1 xn 1 x −n xn+1 −1 x2 I = R∗ et n ∈ N − {1} xα αxα−1 I =]0, +∞[ et α ∈ R − {−1} √ 1 √ 2 x 1 x x ln(x) 2 I =]0, +∞[ I =]0, +∞[ I =]0, +∞[ ex ex I=R cos(x) − sin(x) I=R sin(x) cos(x) I=R tan(x) 1 = 1 + tan2 (x) cos2 (x) I =] − π/2, π/2[ Op´ erations sur les d´ eriv´

TRIGONOMÉTRIE I- Angle et arc géométriques 1. Angle géométrique On appelle angle géométrique plan la figure formée par 2 demi-droites [OA) et [OB) de même origine O. L'angle géométrique [pic]);AOB) est un angle au centre. 2. Arc géométrique L'angle au centre [pic]);AOB) détermine sur le cercle un arc géométrique [pic]);AB). On dit que l'arc [pic]);AB) est intercepté par l'angle au centre [pic]);AOB). La mesure de l'arc de cercle [pic]);AB) est égale à celle de l'angle au centre [pic]);AOB)

que la longueur de l’arc IN soit égale à x. A un nombre x < 0, on associe de la même façon le point N, mais en tournant dans le sens indirect. Soit N un point du cercle. Soit x une mesure de l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N. Alors, cet arc orienté possède d’autres mesures :x + 2π ; x + 4π ; x-2π , etc … Toutes ces mesures sont du type x + k2π où k ∈ !. Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle ] -π ; π ]. C’est la mesure principale. 3. Angles orientés

Chapitre 7 Chapitre 7. Produit scalaire et nombres complexes Activités et applications z1 1. Produit scalaire et trigonométrie π Activité. La valeur du cosinus de 2 i 1. Les coordonnées des vecteurs EOA et EOB sont respectivement 2. 3. 4. 5. ΂ 122 ; 122 ΃ et ΂ 132 ; 12 ΃. ΂ π2 – x΃ + cos ΂ π2 + x΃ = cos π π π π cos x + sin sin x + cos cos x – sin sin x = 0. 2 2 2 2 –1 π Application 1 Le module est donné par la formule : |z| = 9a2 + b2 = 0(– 2)2 + (2)2 = 18. La mise en facteur du module

LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES Rappel de cours ■ D’une droite… à un cercle π 2 π –π π 2 1 0 La figure ci-contre montre: – une droite numérique d’origine A, tangente en A à un cercle trigonométrique de centre O; – un «enroulement» de la tangente sur le cercle. Ainsi, à tout nombre positif ou négatif de la droite est associé un point et un seul du cercle. B 1 rad O – 1 rad A –π 2 C –1 –π 2 L’angle au centre kAOB associé à l’arc AB, d’origine A, d’extrémité

l’origine de rayon 1. La circonf´rence de ce cercle e mesure 2π. Pour repr´senter un angle de x radians, on e consid`re un arc de cercle de longueur x orient´ e e dans le sens trigonom´trique (i.e. dans le sens e contraire des aiguilles d’une montre). π 0 - 5π 6 - 3π 4 - 2π 3 -π 2 -π 3 -π 4 -π 6 2 Les fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions cosinus et sinus sont d´finies sur R, e a ` valeurs dans [−1, 1], 2π-p´riodiques et d´rivables e e sur R avec pour tout x ∈ R tan x

Démonstration : α = x + 2k’π β = x + 2k’’π α – β = …. On note    2  . Se lit « α est égal à β modulo 2π ». Ce n’est pas une égalité au sens classique ! 1.5- Mesure d’un arc orienté : Définition : Les points A(a) et B(b) situé sur le cercle trigonométrique définissent un arc orienté AB. Alors une mesure de cet arc est : mes (AB)  b  a 2  . II- Angles orientés de 2 vecteurs : 2.1- Cas des vecteurs unitaires : Rappel : On note AB  AB la norme du vecteur AB . Soient u et v

resultat = sqrt(nombre); // resultat vaudra 10 sin, cos, tan Ce sont les trois fameuses fonctions utilisées en trigonométrie. Le fonctionnement est le même, ces fonctions renvoient un double. Ces fonctions attendent une valeur en radians. asin, acos, atan Ce sont les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente, d'autres fonctions de trigonométrie. Elles s'utilisent de la même manière et renvoient un double. exp Cette fonction calcule l'exponentielle d'un nombre. Elle renvoie un double log Cette fonction calcule le logarithme népérien

de la mesure d’un angle droit. m ∠ ACB ϭ 360° Ϫ 90° Ϫ 122° ϭ 148° ʈ v√Rʈ ϭ ͙45002 ϩ 50002 Ϫ 2(4500)(5000) cos 148° Ϸ 9133,03 m/s ΂ ΃ m ∠ CAB ϭ arc sin 5000 sin 148° Ϸ 16,86° 9133,03 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée 122° 148° D C Les angles ACB, ACD et BCD forment un angle plein. v◊R 5000 m/s Par la loi des cosinus. Par la loi des sinus. • Calculer la force de friction fv. F Le coefficient k vaut 25 ϫ sin 32° Ϸ 13,25. Puisque fvF ϭ –kv√ , on en déduit que : – fvF

lim 3 38 Analyse en 30 fiches année universitaire 2011/2012 Université El Hadj Lakhar Batna Département Maths-Informatique 1 année LMD Analyse 01 Fonctions circulaires et réciproques I Fonctions circulaires • Fonctions sinus et cosinus Elles sont définies dans R et à valeurs dans [−1,1]. Elles sont 2π-périodiques. La fonction sin est impaire ; la fonction cos est paire. (sin x) = cos x ; (cos x) = −sin x . Dérivées : ∀x ∈ R • Fonctions tangente et cotangente sin x cos x Elle sont