Asymptote

représentation graphique de la fonction 1 f : x x 1 x ֏ + + et C¢désigne la représentation graphique de la fonction 2 1 g : x x 1 x ֏ + + . A. C et C¢ n’ont pas de droite asymptote. B. C et C¢ ont chacune une seule droite asymptote. C. C et C¢ ont une seule droite asymptote en commun. D. C et C¢ ont deux droites asymptotes en commun.

c’est-à-dire l’axe des x. On dit alors que cette droite est une asymptote pour la courbe. L’hyperbole admet aussi une autre branche infinie lorsque x tend vers 0, puisque y tend alors vers l’infini. La courbe se rapproche alors infiniment près de la droite d’équation x=0, c’est-à-dire l’axe des y. Cette droite est une deuxième asymptote pour l’hyperbole. Plus généralement, et par analogie, on dit qu’une courbe admet une droite comme asymptote si la distance entre un point de la courbe s’en allant à l’infini

éventuelles asymptotes. Existence et détermination de (en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de . Tableau de variation récapitulant les résultats précédents. Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie. Tracé de la courbe après avoir placé : - les axes du repère avec la bonne unité ; - les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes, ...) ; - les éventuelles asymptotes.

de la fonction (aucune justification n'est ici demandée) : x h ' (x) - +  h (x) 4 Exercice 4 ( suite) d) Etudier la nature des branches infinies. Préciser les équations des asymptotes. e) Construire ci-dessous la courbe représentative de cette fonction, ainsi que les asymptotes. Préciser les points d’intersection avec les axes. 5 Exercice 4 ( suite) f) Déterminer l'approximation affine de h au point : x0 = 3 g) En utilisant cette approximation, calculer une

graphique de la fonction f : x ֏ x + 1 + A. B. C. D. 1 1 et C ′ désigne la représentation graphique de la fonction g : x ֏ x + 1 + 2 . x x C C C C et C ′ n’ont pas de droite asymptote. et C ′ ont chacune une seule droite asymptote. et C ′ ont une seule droite asymptote en commun. et C ′ ont deux droites asymptotes en commun. 7/7 

décibels en fonction de la pulsation en rad.s-1  La phase en degré en fonction de la pulsation en rad.s-1 . Construction  On trace les asymptotes du diagramme de gain  En w = 0, l’asymptote est une droite de pente q×20dB/décade  A chaque i on ajoute 20dB/décade à la pente, à chaque k on retire 20dB/décade à la pente.  On trace les asymptotes du diagramme de phase  En = 0, l’asymptote est une constante q×90°  A chaque i on ajoute 90°×signe( i) à la phase,

et dont les asymptotes ont pour équations : x = -c et c a y= c. Elle est croissante si A < 0 et décroissante si A > 0 Méthode pratique : d ax+b On obtient rapidement le graphe d'une fonction homographique f : x ∈ IR \ {- c } ↦ cx+d en procédant ainsi: d 1. on trace les 2 asymptotes, d'équations x = - c ( racine du dénominateur) a a et y = c (c = lim f(x) = lim f(x) ). x->+∞ x-> - ∞ d - c  puis le centre de symétrie Ω  a  ( intersection des asymptotes) ; c 2. les 2 asymptotes partagent le

-8 -lim quand x tend vers 0+: lim 1/x = +8 lim 1/x^2 = +8 lim 1/x^3 = +8 lim 1/x^n = +8 lim 1/†x = +8 2/Asymptotes Si lim ?(x)= +8 qd xÞa, alors la droite d eq x=a est asymptote Si ?(x)=a+g(x) avec lim g(x)=0 en +/-8 alors lim ?(x)=a en +/-8 et la droite d eq y=a est une asymptote Si ?(x)=ax+b+g(x) avec lim g(x)=0 en +/-8 alors la droite d eq y=ax+b est une asymptote 3/Tangente y=?'(x)*(x-x0)+?(x0) avec pt(x0;?(x0)) 4/Derivees ax+bÞa a Þ 0 x Þ 1 x^2 Þ 2x x^n Þ nx^(n-1)

ax. Si cette limite est nie et vaut b, alors la droite d'équation y = ax + b est une asymptote à la courbe. Dans le cas où on a une asymptote à la courbe, on peut étudier les positions relatives en étudiant le signe de y(t) − (ax(t) + b), si ce signe est positif, la courbe se trouve au dessus de l'asymptote lorsque t tend vers t0 et si ce signe est négatif la courbe se trouve en dessous de cette asymptote lorsque t tend vers t0 . Exemple 1 Pour la courbe paramétréee donnée par   x(t) =

caractéristique se nomme les asymptotes d’une fonction. Définition 1.2. allo le monde • Une asymptote horizontale est une droite horizontale telle que sa distance avec la fonction diminue toujours sans jamais atteindre 0. • Une asymptote verticale est une droite verticale telle que sa distance avec la fonction diminue toujours sans jamais atteindre 0. 1 Ainsi, f (x) = possède une asymptote horizontale en y = 0 et une x asymptote verticale en x = 0. La convention veut que l’on trace les asymptotes en pointillés