Asymptote

vertical ou horizontal. b) Trouve les coordonnées des sommets. c) Quelles sont les équations des asymptotes? 3- Le grand axe (axe transversal) d'une hyperbole centrée à l'origine du plan cartésien mesure 14 unités. Les foyers sont situés aux points (0, 8) et (0, -8). a) Détermine si l'hyperbole est d'axe vertical ou horizontal. b) Trouve les coordonnées des sommets. c) Quelles sont les équations des asymptotes? 4- Pour chacune des hyperboles suivantes dont l'équation canonique est donnée, trouve

distinction entre constantes et variable. 1 2 P = E2 r (r + R) 2 = 10 −2 r (r + 75)2 a) Pour tout r  0, on a f ( r ) = 10 − 2 . 1 75  r 1 +   r 2 , d’où lim f ( r ) = 0 . L’axe des abscisses est asymptote r→+∞ à la courbe # en + ∞. 75 − r . Pour tout r  0, (r + 75)3  0, donc f 9(r) est du signe de (75 − r). b) f 9( r ) = 10 − 2 ( r + 75)3 c) r 0 + f 9(r) 75 0 +∞ − 1  × 10− 4 3 f 0 0 1 × 10 −4 , atteint pour

en fonction du temps de maintien réglé antérieurement. Figure 2: Evolution de la masse de la pièce en fonction du temps de maintien à deux étapes différentes du processus La détermination du temps de maintien optimal se fait par la méthode des asymptotes. Leur traçage permet par intersection et projection de l’identifier. C’est ainsi que dans notre cas nous avons trouvé un temps de maintien optimal d’environ 11,3 secondes. Remarque : On remarque que plus le temps de maintien est grand, plus la

f (x) = x +2 x3 −x −6 6. f (x) = ln ( x2 −4x +3 ) ex −e−2 7. f (x) = (1+x)2+x 8. f (x) = ln ( x + p x2 +1 ) Exercice 2 Faire une étude complète des fonctions suivantes (domaine de définition, limites et éventuels prolon- gements par continuité, asymptotes, étude des variations et enfin une allure de la courbe) 1. f (x) =p x +1ln(x +1) 2. g (x) = x + p x2 −1EXERCICES - DÉRIVÉES ET ÉTUDE DE FONCTIONS - ECG1 - CORRECTION Exercice 1 1. f ′(x) = −2x +4 2 p −x2 +4x +12 = −x +2p −x2 +4x +12 2. f ′(x) =

x = x 2 + 16 − x 2 x 2 + 16 − x = ( x 2 + 16 − x)( x 2 + 16 + x x 2 + 16 + x = 16 = . x 2 + 16 + x x 2 + 16 + x Donc lim ∆(x) = lim ∆(x) = 0+ . Ceci signifie que la droite d’équation x→−∞ x→+∞ y = x est asymptote à C au voisinage de l’infini, la courbe restant audessus de son asymptote. C x A′ y = × D 4 × B′ 5 −5 −4 C′ b. −8 Par différence avec l’aire du rectangle, on a aire(D) = 30 − (u.a.). Partie B Polynésie 2 3 −3 x 2 + 16 dx Corrigé du baccalauréat S septembre 2005 π

négative et la fonction a x est toujours strictement décroissante 3.3.2 Asymptotes Le domaine des fonctions expa (x) étant R , ces fonctions n'ont pas d'asymptotes verticales. Asymptotes horizontales : 1 er cas : a > 1. On sait que :  lim a x = a +  = +  et donc la fonction a x n'admet pas d'asymptote horizontale en +  et x lim a x = a -  = a 1 =  1 = 0 La fonction expa (x) admet pour asymptote horizontale en - , la droite y = 0 2 ème cas : 0 < a < 1. Si

0 | On peut affirmer que la courbe C admet: • la droite d’équation x = 0 pour asymptote. • la droite d’équation x = 2 pour asymptote. • la droite d’équation y = 0 pour asymptote. 2. Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = 2ln(x) – 3x + 4. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :

de f et de g. e ´ Etudier l’existence d’une droite asymptote ` la courbe repr´sentative de f . On pr´cisera la position de la a e e courbe par rapport ` l’asymptote ´ventuelle. a e Q 2 On consid`re dans cette question la fonction f d´finie sur I par f (x) = x arctan(x) − e e a. b. c. 1 ln(1 + x2 ). 2 V´rifier que f ∈ N . e Calculer les limites de f et de g en 0 et en +∞. ´ Etudier l’existence d’une droite asymptote ` la courbe repr´sentative de f au voisinage de +∞. a

limt→ t0 ||f(t)|| = +∞. Dans la pratique, on mène l’étude suivante : – Si, quand t tend vers t0 , x(t) tend vers +∞ ou −∞ et y(t) tend vers un réel ℓ, la droite d’équation y = ℓ est asymptote à C . — Si, quand t tend vers t0 , y(t) tend vers +∞ ou −∞ et x(t) tend vers un réel ℓ, la droite d’équation x = ℓ est asymptote à C . y(t) avec les sous-cas ˜ Si, quand t tend vers t0 , x(t) et y(t) tendent vers +∞ ou −∞, il faut affiner. On étudie lim t→ t0 x(t) suivants : y(t) a. Si tend vers 0, la courbe admet

fonction f. (a) D ́eterminer les asymptotes `a la courbe C. (b) D ́eterminer les tangentes horizontales `a la courbe C. (c) D ́eterminer l’ ́equation de la tangente T0 `a la courbe C en x = 0. (d) D ́eterminer la position relative de la courbe C par rapport `a la droite T0. (e) Construire la courbe C dans un rep`ere orthogonal avec pour unit ́es 1 cm en abs- cisse et 10 cm en ordonn ́ee, faire figurer sur le graphique les tangentes ainsi que les asymptotes. Sujet Droit Devoir de Math ́ematiques