Asymptote

racines : f(x) = a(x-x1)(x-x2) Si une racine ; f(x) = a(x-x0)² Les limites : Formes indéterminées : « ∞ - ∞ » ; « 0 × ∞ » ; « ∞/∞ » ; « 0/0 » Asymptotes verticales : x = a lim f(x) = -∞ et lim f(x) = +∞ x→a- x→a+ Asymptotes horizontales : y = b lim f(x) = b et lim f(x) = b x→-∞ x→+∞ Asymptotes obliques : y = ax +b lim [f(x) – (ax+b)] = 0 et lim [f(x) – (ax+b)] = 0 x→+∞ x→-∞ Les fonctions :

: f (x) = x+2+ln(x) x . 1. Expliquer pourquoi la fonction f n'est pas définie sur ℝ. 2. a) Déterminer la limite de f en 0 + . b) Y a-t-il une asymptote ? Si oui, préciser son équation. 3. a) Montrer que pour tout x ∈ ] 0; + ∞ [, f(x) = 1 + 2 x + ln(x) x . b) En déduire la limite de f en + ∞. c) Y a-t-il une asymptote ? Si oui, préciser son équation. 4. a) Démontrer que, pour tout x ∈ ] 0; + ∞ [, f ’(x) = -1-ln(x) x² . b) Résoudre dans IR l’inéquation – 1 - ln(x)

référence : La fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien et la fonction affine x→ x 1. Donner la limite en [pic] de la fonction exponentielle. 2. Quel résultat sur les limites traduit le fait que « l’axe des ordonnées est une asymptote à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien » ? 3. Calculer en justifiant les limites suivantes : a) [pic] b) [pic] Exercice 2 : Préciser dans la dernière colonne si les affirmations a), b), c), et d) sont vraies

b) Etudiez le sens de variation de la fonction sur l'intervalle]-oo ; 2,5[ En déduire, à partir de l'encadrement de α obtenu dans la partie A, en encadrement d'amplitude 10-2 de f(α). 5. Démontrez que la droite (D) d'équation y = 2x - 5, est asymptote à (C) en +oo. Préciser la position de (C) par rapport à (D). 6. Tracez la droite (D) et la courbe (C) dans le repère (O ; i , j )(unité graphique 2cm) Partie C : Calcul d'aire A l'aide d'une intégration par parties, calculez en cm² l'aire A de la

> e . 3 D’o` le tableau : u x f (x) +∞ f 1− ln 3 3 −∞ − ln 3 3 +∞ + +∞ 0 4. On a f (x) − (−x − 2) = e3x et lim e3x = 0. x→−∞ La droite d’´quation y = −x − 2 est donc une asymptote au voisinage de e −∞ 5. De plus, pour tout x ∈ R, e3x > 0, la courbe de f est donc au dessus de son asymptote. 6. cf courbe. Partie C. Calcul d’aire 0 L’aire de ce domaine est −2 0 f (x) − (−x − 2) dx u.a. , et on a : e3x 3 0 −2 f (x) − (−x − 2) dx = −2 = 1 e−6 − × 4 cm2 3 3

droite d’équation y = x est asymptote à la a b courbe. Par symétrie, il en est de même de la droite d’équation y = − x. On doit noter que les deux asymptotes à a x2 y2 l’hyperbole d’équation 2 − 2 = 1 sont obtenues mécaniquement en remplaçant 1 par 0 : a b x y y2 x y b b x2 − 2 =0⇔ − + ) = 0 ⇔ (y = x ou y = − x). 2 a b a b a b a a • L’égalité de Pythagore c2 = a2 + b2 fournit une construction du foyer quand on dispose de l’hyperbole et de l’une b de ses asymptotes. a est l’abscisse de A. b est

coordonnées cartésiennes avec l'origine O au centre de symétrie de l'hyperbole, l'équation canonique de l'hyperbole s'écrit : x2 a2 − 2 =1 b y2 x2 x2 y2 Remarque: Lorsque x tend vers l'infini, on a : 2 = 2 − 1 ≅ 2 b a a L'hyperbole admet deux droites asymptotes d'équations: y = + y= − b x qui se coupent en O. a b x et a 100 Mathématiques pour les Sciences Physiques Exercices : Coniques Equation polaire d’une ellipse La terre décrit autour du soleil une ellipse d’excentricité e et de paramètre

L'image de ce corps totale intervenant alors que le corps réel est toujours perçu comme morcelé, va engendrer une tension initiale qui ne sera jamais résolue. Lacan utilise l'image d'une asymptote (moi idéal) vers laquelle tant une courbe (le moi), sans jamais pouvoir l'atteindre puisque c'est la définition d'une asymptote. Le sujet « je » qui va se constituer à partir du stade de miroir est passé d'une vision morcelée de son corps à une forme « orthopédique de totalité ». Qu'il va endosser comme une

de leurs objectifs était de donner un rythme de travail à une classe qui n'en avait plus. Mais ça, faut pas le dire ! Ce DE-1 fut fait sans calculatrice et portait sur tout ce que l'on peut attendre en début d'année de TS : dérivation, limites et asymptotes, continuité. Il eut lieu à la mi-septembre 2005. Il constitua le premier contact des élèves avec les QCM que l'on retrouve régulièrement dans les sujets de bac. Différence avec les miens, ils sont beaucoup moins difficiles. d) Parmi les fonctions

repr´esentative au voisnage de ±1. D´efinition 2.35 (Asymptote). Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle ]x0,+1[ (ou ] −1, x0[). Soit a et b deux nombres r´eels quelconques. On dit que la courbe repr´esentative de f admet la droite d’´equation y = ax + b pour asymptote en +1 (respectivement en −1) si et seulement si lim x!+1 (f(x) − ax − b) = 0 (respectivement lim x!−1 (f(x) − ax − b) = 0) Remarque 2.36. Graphiquement, une droite y = ax + b est asymptote `a la courbe repr´esentative de f en ±1