Asymptote

courbe est au dessus de sa tangente en x0 ; si f’’(x0)  0, la courbe est en dessous de sa tangente. inégalité des accroissements finis : sur [a, b], si m  f '( x )  M alors x, y [ a, b], m  f ( y)  f ( x) M yx f et g ont des courbes asymptotes ssi lim( f ( x )  g( x ))  0 ; leur position dépend du signe de f(x) – g(x)  Analyse : Suites arithmétiques, suites géométriques (formules valables sur  et sur ) Suites arithmétiques : 1° terme u0 ; un1  un  a ; un  u0  na ou un 

passante d'un amplificateur représente l'ensemble des fréquences de la grandeur d'entrée transmise en sortie avec une atténuation maximale de 3 dB. Gain en puissance (dB) ( Gain en tension (dB) ) ( ) Gain en courant (dB) ( ) Asymptotes Vs 20 log (dB) Ve 20 dB 17 dB 3 dB Courbe réelle Bande passante 0 dB 1Hz 10Hz 100Hz fc = 1000Hz 10 000Hz La valeur de 3 dB n'a pas été choisie au hasard. Elle correspond à la sensibilité de l'oreille humaine

courbe Cf . Les e o a cœfficients a et b sont donn´s par les formules suivantes e f (x) x a = lim x→±∞ et b = lim [f (x) − ax]. x→±∞ Remarquons qu’une courbe admet au maximum deux asymptˆtes obliques. o  Exemple 3.7.1 Cherchons les asymptotes ` la courbe repr´sentative de la fonction a e 2x2 − x + 2 . On remarque que lim f (x) = 2. La droite d’´quation y = 2 e f (x) = 2 x→±∞ x − 5x + 6 est une asymptˆte horizontale ` la courbe Cf . D’autre part, le d´nominateur de f (x) o a e d’´quations

x −1 Fig. 3.6 – Fonctions th et coth – sh 0 = 0, ch 0 = 1. – On remarque que ∀x ∈ R, sh x ≤ ex ≤ ch x et ch x − sh x = e−x − − − 0 − −→ x→+∞ 2 ex Par cons´quent, la courbe y = e est asymptote aux deux courbes y = sh x et y = ch x et on a la position 2 des courbes par rapport a la courbe asymptote. ` Trigonom´trie e Les formules a connaˆ par coeur : ` ıtre cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b +

3.6 – Fonctions th et coth – sh 0 = 0, ch 0 = 1. – On remarque que ∀x ∈ R, sh x ≤ ex ≤ ch x et ch x − sh x = e−x − − − 0 − −→ x→+∞ 2 ex Par cons´quent, la courbe y = e est asymptote aux deux courbes y = sh x et y = ch x et on a la position 2 des courbes par rapport a la courbe asymptote. ` Trigonom´trie e Les formules a connaˆ par coeur : ` ıtre cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a

3.6 – Fonctions th et coth – sh 0 = 0, ch 0 = 1. – On remarque que ∀x ∈ R, sh x ≤ ex ≤ ch x et ch x − sh x = e−x − − − 0 − −→ x→+∞ 2 ex Par cons´quent, la courbe y = e est asymptote aux deux courbes y = sh x et y = ch x et on a la position 2 des courbes par rapport a la courbe asymptote. ` Trigonom´trie e Les formules a connaˆ par coeur : ` ıtre cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a

la courbe définie par  1 . y = 2t + 2  t  1. Ensemble de définition : ℝ*. 2. Domaine utile d'étude : pas de périodicité ni de parité, donc c'est ℝ*. 3. Etude des branches infinies. a. Quant t → 0 : x → 0 et y → +∞, donc l'axe (Oy) est asymptote verticale. En écrivant x = t (t – 2) on voit que x > 0 si t < 0 et x < 0 si t > 0, d'où la courbe est à droite lorsque t < 0, à gauche pour t > 0. y → 0, donc branche parabolique de direction b. Quand t → +∞ : x → +∞ et y → +∞. On trouve :

copies de bons éléments (mais éventuellement LE PASSAGE DES MATHEMATIQUES EN ARABE AUX MATHEMATIQUES EN FRANÇAIS EN ALGERIE : DIFFICULTES ET AVANTAGES RACHID BEBBOUCHI Page 530 s’exerçant sur des livres étrangers) des courbes qui coupent leurs asymptotes ou qui n’ont pas la bonne concavité. Il parait même que certains élèves ont découvert qu’il valait mieux se référer au reflet du tableau de variations sur un miroir. 1.6 Ces points de détail énumérés en 5) semblent avoir été résorbés après 2003

d´part (K = 0) : le lieu d’Evans part des n pˆles GH(s). e o -b) Points d’arriv´e (K → ∞) : e * les m z´ros de GH(s) e π e * les (n − m) directions asymptotiques d´finies de pente (2l + 1) n−m , l ∈ N . pi − zi n−m -c) Point d’intersection des asymptotes avec l’axe des r´els : c’est le point s = e (a, 0) tel que a = -d) Branches de courbes sur l’axe des r´els : le lieu comprend les portions de e l’axe des r´els ` gauche d’un nombre impair de pˆles ou de z´ros, en partant e a o e du pˆle ou du z´ro

d´veloppement limit´ d’ordre n en 0 et donner ce d´veloppement. e e e Exercice 4.19 (Etude de la fonction x → x arctan x) Etudier la fonction f d´finie sur R par : e f (x) = x arctan x, x ∈ R. [Montrer que f est paire. Calculer f et f ”. Etudier les asymptotes.] Exercice 4.20 (Etude d’une fonction (3)) Soit a ∈ R. Soit f la fonction d´finie de R∗ dans R par : e f (x) = a(1 + x2 ) x − cos x 1. Calculer en fonction de a la limite de f en 0. En d´duire que f peut ˆtre prolong´e par continuit´ e e e e sur