Asymptote

donner son sens de variation. (1,5 point) 4. Compléter le tableau de valeurs suivants (arrondir les réponses à 10 –4 près. (0,5 point) Page 5 x f(x) 1 10 e2 15 30 e3 e4 60 100 5. Dessiner la courbe ( C ) et ses asymptotes. (0,5 point) Partie B. Une application On suppose que la capacité pulmonaire g(x), en litres, d’un homme en fonction de son âge s’exprime par la relation : g(x) = 110 × f(x). On limite l’étude à 10 ≤ x ≤ 100. Déduire de l’étude de la partie A :

signe de f ' (x) est celui de xϕ (x)il est simple de voir d' aprés 1)c) que f est strictemen t croissante sur ] - ∞; a[ et , strictemen t décroissan te sur ]a; +∞[ lim f ( x ) = −∞; en − ∞ ; limf(x) = 0 en + ∞ donc la droite D : y = 0 est une asymptote à la courbe (C) de f en + ∞ 3) a )lafonction f (t )estcontinu esur [0;+∞[ donc F(x) = ∫ f(t)dt existe 0 x b) F est une primitive de f sur IR + F' (x) = f(x) ; F' (0) = 0 mais f(x) ≥ 0 sur IR + ⇒ F est stictement croissante sur IR + = I c) l'

x→−∞ x→−∞ FONCTIONS RATIONNELLES : Ce sont les fonctions quotients, par exemple : f : x → f (x) = x+1 2x − 1 L’étude est en générale progressive, et propose le résultat à déterminer de la dérivée. La courbe tracée montre éventuellement une asymptote (droite dont la courbe se rapproche sans la toucher). Il faut donc savoir dériver un quotient, on rappelle les règles : 4 TTH METHODES DE REVISIONS 2008 f 1 x 1 x2 1 x2 2 x3 1 u −u u2 k u −ku u2 u v u v − uv v2 ax +

une condition initiale). - un maximum en 2, égal à f (2) = 4e −2 ≈ 0,54 . Par théorème ∀n∈N x →+∞ lim x n e− x = 0 , donc (remplacez n par 2) x →+∞ lim x 2 e− x = 0 . La représentation graphique de f admet l’axe des abscisses pour asymptote en +∞. Enfin, lim x 2 = lim e − x = +∞ donc lim x 2 e− x = +∞ (théorème de multiplication). x →−∞ x →+∞ x →−∞ x f '(x) f (x) −∞ − +∞ 0 0 0 + 2 0 4e −2 +∞ − 0 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 3 P.G. 2006/2007 CORRIGES DES EXERCICES

d’avoir les deux. C’est comme courir deux lapins à la fois. « Rastignac résolut d'ouvrir deux tranchées parallèles pour arriver à la fortune, de s'appuyer sur la science et sur l'amour (…). Il était encore bien enfant ! Ces deux lignes sont des asymptotes qui ne peuvent jamais se rejoindre. » Mais lui il est un victime de ce diable de Vautrin qui le forme sournoisement et répète dans ses oreilles la formule : « Or et amour à flots ! » L’argent est ainsi le seul moyen de plaire semble dire Delphine

(suite) 3. a) g (x ) ϭ 4 sin 2x d) g (x ) ϭ cos (x Ϫ 90) Ϫ 0,5 b) g (x ) ϭ ͙ෆ ϩ 1 xϩ3 e) g (x ) ϭ 0,5(x Ϫ 5)2 Ϫ 4 c) g (x ) ϭ –͉x Ϫ 3͉ ϩ 2 f ) g (x ) ϭ –1,5–x Page 26 Mise au point 1.1 (suite) 4. a) 19 e) 79 . possède une asymptote verticale d’équation x ϭ 1. d. La courbe associée à e. 1) et à . b) 54 f ) 119 c) 4,5 g) 2 8 d) 3 h) La réponse n’est pas un nombre réel. 5. a) Réflexion par rapport à l’axe des abscisses. Étirement vertical de facteur

2008/2009 Fragments du Bac Th`me: Fonctions num´riques e e 3. Comportement en +∞ (a) Calculer la limite de T (x) lorsque x tend vers +∞. 1 x 7 . (b) Montrer que, pour tout x > 3/2, : T (x) = − − − 2 4 4(2x − 3) (c) En d´duire que CT admet un asymptote ∆ en +∞ dont on d´terminera une ´quation. e e e (d) Etudier la position relative de CT par rapport ` ∆ sur l’intervalle ]3/2; +∞[. a 0 Exercice no 5 [D’apr`s Baccalaur´at Amiens, 1989] e e On consid`re dans le plan (P ) rapport´ ` un rep`re orthonormal

dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction. Guillaume Connan, Tale S4 - Lycée Jean Perrin, 2009-2010 x yn 2. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = 2 2. a) Montrer que Cg admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation. 10 V -. APPLICATIONS DIVERSES Exercice 6- 21 Bac On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f ′ sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes : (1) pour tout nombre réel x

________________ Exercice 10 : Les préférences d’un consommateur pour les biens X et Y sont exprimés par : U(X,Y)= (X-1)(Y-1)2 Son revenu étant de 360 DT avec px=6 DT, py=9 DT. 1- Dresser une carte d’indifférence sommaire, en précisant ses asymptotes, avec les courbes ayant pour niveaux d’utilité U1=100, U2=225 et U3=400. 2- Calculer par deux méthodes différentes le TMS sur U1 pour x1=2 et x2=5. 3- Déterminer les fonctions de demande et caractériser la nature des biens. 4- Tracer la courbe

-1/OF', la relation de conjugaison conduit à 1/OA' =0, c'est à dire une image rejetée à foyer principal image. L’infini. L'image d'un objet réel situé à l'infini sur l'axe se trouve au foyer principal image. On en déduit que le graphe admet deux asymptotes. Quelque valeurs (f’ : distance focale image)