Asymptote

forme simplifiée[9] : ), avec : - Y (ou y), représentant la population d’un pays à un moment donné ; - K (ou k), a et b trois paramètres qui sont estimés à l’aide de la méthode des points sélectionnés. K correspond à une asymptote horizontale qui exprime la limite de la fonction Y quand t tend vers l’infini ; - t, une variable exprimant le temps. La méthode des points sélectionnés -que nous appliquerons prochainement- consiste à écrire que la fonction Y

34 35 Comparaison série-intégrale . . . . . . Convergence d’une série entière . . . . Fonction convexe . . . . . . . . . . . . Etude locale d’une courbe paramétrée Exemple de ρ négatif en polaires . . . Tangente en polaires . . . . . . . . . . Asymptote en polaires . . . . . . . . . Repère de Frenet et centre de courbure Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse : foyers et directrices . . . . . . Parabole : foyers et directrices . . . . . Hyperbole : foyers et directrices . . . . Quadriques

x2 − 1 • f5 (x) = x ln(x) (a) Donner son domaine de d´ finition : e (b) Calculer sa d´ riv´ e et en donner son domaine de d´ finition. e e e (c) Etudier le signe de sa d´ riv´ e et en d´ duire son tableau de variation. e e e ´ (d) Rechercher les asymptotes eventuelles. (e) Tracer son graphe. ´ 3 Equation de la tangente en un point au graphe d’une fonction 1. Pour chacune des fonctions suivantes : • f1 (x) = e− 2 (a) Calculer sa d´ riv´ e. e e (b) D´ terminer l’´ quation de la tangente au graphe

suivie jusqu'ici justient que le fonctionnement en boucle ouverte n'est pas souhaitable ? 5 6. Tracez les digrammes de Bode asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte T (p). 7. Tracez quelques points non confondus avec les asymptotes (en gain et en phase) et tracez les diagrammes de Bode réels. 8. Donnez la marge de phase du système et représentez cette grandeur sur le schéma. Conclusion ? 9. On ferme maintenant la boucle. En supposant que l'asservissement est idéal, quelle

sh(x) ∼ x (la droite y = x est tangente d’inflexion). x2 Toujours au voisinage de 0, on a l’équivalent : ch(x) − 1 ∼ . 2 ex – Au voisinage de +∞, on a : ch(x) ∼ sh(x) ∼ . 2 ex ex (avec sh(x) < < ch(x)) Les deux courbes y = ch(x) et y = sh(x) sont asymptotes à y = 2 2 e−x e−x – Au voisinage de −∞, on a : ch(x) ∼ et sh(x) ∼ − . 2 2 Courbes représentatives des fonctions x → ch(x) et x → sh(x) : Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard mathprepa.fr Page 134 4.5 Fonctions usuelles Chapitre 4 :

suit une exponentielle c'est-à-dire que l’Etat continue un emprunter pour rembourser les intérêts précédent alors le risque de non remboursement augmente jusqu’à un arrêt des paiements quasi certains. Si au contraire il augmente mais atteint une asymptote horizontale alors on estime la dette soutenable, certes le ratio d’endettement ne diminue pas mais s’annule, il y a donc égalité entre sa richesse et sa dette. Le remboursement de la dette peut être repoussé à l’infini. Enfin si le ratio diminue

même, ou dit autrement un filtre d’ordre deux n’a que deux paramètres. Si vous avez des fonctions sigmoïdes sans modèle physique, vous pouvez essayer : • y=a/(b+(c-b)*exp(-x/x1)). (x=0 y=a/c) (asymptote y=a/b) (milieu x=x1*ln(b)). • y=a*(1+b*exp(k*x))/(1+c*exp(k*x)). (x=0 y=a*(1+b)/(1+c)) (asymptote y=a*b/c). Remarque : l’utilisation des anamorphoses pour obtenir des droites vient des méthodes manuelles. Seule la droite est en effet identifiable sans problème. L’anamorphose est incompatible

C (D) (T) Partie A 1. a. On a lim x→+∞ e−x = 0, donc lim x→+∞ 1+e−x = 1 donc lim x→+∞ ln(1+e−x ) = 0 donc lim x→+∞ f (x) = +∞ b. Comme f (x)− 1 3 x = ln(1+e−x ) et que lim x→+∞ ln(1+e−x ) = 0, on en déduit que la droite (D) est asymptote à (C ) au voisinage de +∞. c. Comme f (x)− 1 3 x = ln(1+e−x ) et que ∀x ∈ R, {−x} > 0, on a 1+e−x > 1 et donc ln(1+e−x ) > 0, dont on déduit que l’asymptote (D) est en dessous de la courbe (C ) sur R. d. Soit x un réel. On a f (x) = ln(1+e−x

. . . . . . . 3.2.4 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . 3.2.5 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Limite d’une fonction composée . . . . . 3.3 Limites et asymptotes . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Asymptotes verticales . . . . . . . . . . 3.3.2 Asymptotes horizontales . . . . . . . . . 3.3.3 Asymptotes obliques . . . . . . . . . . . 3.4 Limites du formulaire . . . . . . . . . . . . . . . 4 Analyse combinatoire 4.1 Permutations . . . 4.2 Arrangements . . . 4.3 Combinaisons .

expressions des fonctions de transferts : H1(p) et H2(p). La fonction de transfert en boucle ouverte du système non corrigé (C(p) = 1) est notée : ( ) BONC H p , son diagramme de Bode est donné sur le document réponse DR3. Q29. Tracer les asymptotes, puis identifier les paramètres de la FTBO non corrigée ; Justifier votre réponse. Q30. Représenter graphiquement les marges de stabilité, puis donner leurs valeurs. Conclure sur l’exigence de stabilité (répondre sur DR3). Pour la suite on