Asymptote

lim f (x) = b, x→±∞ x→±∞ x→x0 on a une asymptote verticale d’équation : x = x0 . on a une asymptote horizontale d’équation : y = b. • lim f (x) = ±∞ f (x) =a x→±∞ x ◦ si a = ±∞, on a une branche parabolique de direction Oy. ◦ si a = 0, on a une branche parabolique de direction Ox. ◦ si a est fini non nul, il faut continuer la recherche par : lim (f (x) − ax) = b Il faut continuer la recherche par : lim x→±∞ si b est fini, on a une asymptote : y = ax + b si b est infini, on a une branche

d'éviter le "pire des maux", comme l'appelle Socrate, est de confronter son peu de savoir à celui des autres afin de le réajuster, de le corriger, pour qu'il tente de s'ajuster à la réalité, un peu comme une courbe statistique se rapproche d'une asymptote à mesure que la taille de l'échantillon augmente. Un intellectuel qui se barricaderait dans ses certitudes serait coupable d'inertie. C'est bien un devoir pour tout penseur d'accepter et de rechercher la réfutation. Donnons raison à Socrate !

considère la fonction f définie sur l’intervalle ] − 1; +∞[ par : Exercice 1 1 . x+1 On appelle C sa courbe représentative dans un repère donné du plan. f (x) = 2 − 1 ) On a : lim f (x) = −∞ car lim x + 1 = 0− x→−1 x→−1 2 ) La courbe C admet une asymptote d’équation : y = 2 car lim (f (x)) = 2 x→+∞ 3 ) Pour tout réel x de l’intervalle ] − 1 ; +∞[, f (x) peut s’écrire : f (x) = 4 ) Le signe de f (x) sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ est donné par le tableau : Ü ´Üµ 2x + 1 x+1  ½   ½  ¾ ¼ · · ½ 1

arccos( ) = , 2 3 arccos(1) = 0, −1 . 1 − x2 0 √ π 2 arccos( )= , 2 4 -4 arccos(−1) = π. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1.5707 7/50 I - 4 Les fonctions trigonométriques réciproques Ici on observe des asymptotes horizontales, y = π π en +∞ et y = − en −∞. 2 2 On vérifie bien que si y ≥ 0, l’angle est compris entre 0 et π, et si y < 0, l’angle est compris entre −π et 0. 5 Application à la détermination des angles exemple 1 : quel est l’angle

X 2 2 croissance comparée, lim f ( x) = lim Xe X = 0 . b. Posons X = − ⇔ x = −2 X : f ( x ) = − x →+∞ x →−∞ x 2 ( ) . Or x →+∞ lim X = −∞ et d’après les résultats de C admet donc la droite horizontale d’équation y = 0 comme asymptote en + ∞ . c. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [ 0 ; + ∞ [ . f est dérivable et on a f ' x ) = ( signe de la fonction affine 2-x. 1 e 4 − x 2 x 2 − x e 2 − x 2 = e − 8 ( 2 − x ) : une

6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE 1 1. En général xR = 1 =⇒ ωR = ωo sauf pour Q = √ 2 2. Si Q ≫ 1 alors ωR = ωo ainsi on nomme x1 et x2 > x1 les pôles du dénominateur c’est à dire Ho que H = ; ainsi le diagramme asymptotique présente une asymptote (1 + jx1 )(1 + jx2 ) intermédiaire entre x1 et x2 à -20 dB/décade En effet si : ◮ ω ≪ ω1 =⇒ H = Ho : multiplication par une constante Ho ω1 c’est à dire que vs (t) = ω1 Ho ve (t) dt :intégrateur ◮ ω1 ≪ ω ≪ ω2 =⇒ H = jω Ho ωo ◮ ω2 ≪ ω =⇒

explicitement, en fonction de n, la somme U   k 0 n u(k). Problème 1) Soit f l’application de R dans R+ définie par f (x ) = (x2 + 1)1/2. 1a - Etudier précisément les variations de f (dérivées, tableau de variations, concavité, limites, asymptotes, graphe…) 1b - Montrer que, pour tout réel x, on a f (x) > x 2) On considère l’application g définie sur R par g(x) = x + (x2 + 1)1/2. Etudier g et tracer son graphe dans le repère orthonormal usuel. 3) On donne maintenant l’application h définie

théorème sur la composition des limites, on a : 1 X 1 −X X e = lim . lim f (x) = lim x→+∞ X →+∞ 2 e X X →+∞ 2 x X e On a vu dans la question 1. que lim = +∞ donc lim X = 0. x→+∞ x X →+∞ e Par conséquent : lim f (x) = 0. La courbe C admet donc une asymptote d’équation y = 0 en x→+∞ +∞. 0, f (x) = c. f est dérivable sur [0 ; +∞[ comme produit et composée de fonctions dérivables. x 1 1 1 f = uev en posant u(x) = x et v(x) = − . Alors f ′ = (uev )′ = u ′ × ev + u × v ′ ev . 4 2 4 4 x x 1 −x 1 1 1 1

2. 0×∞ 3. 0 0 4. ∞ ∞ Les phrases. 1. Un polynôme se comporte au voisinage de l’infini comme son monôme de plus haut degré. 2. Une fraction rationnelle se comporte au voisinage de l’infini comme le quotient de ses monômes de plus haut degré. Asymptotes. 1. horizontale : limite finie en l’infini. 2. verticale : limite infinie en un réel fini. Continuité f continue en a ssi lim x→a f(x) = f(a). Application du CTVI : continuité, stricte monotonie, appartenance à l’intervalle image. Dérivées

n’est pas sur la courbe, alors vous obtenez la tangente au point M de la courbe tel que la distance AM soit minimale. 60 Asymptote Asymptote[hyperbole h] : Les deux asymptotes à l’hyperbole h. Note : Il faut bien lire hyperbole en tant que conique, non en tant que courbe représentative de fonction. Si vous désirez utiliser cette commande pour dessiner les asymptotes à f(x)=(2x²+1)/(x-3), il vous faut définir l’hyperbole par l’équation y*(x-3)-(2x²+1) = 0, par exemple. Directrice Directrice[parabole