Barycentre Logistique

Corrigé du DM n° 4 Exercice 1 : 1. [pic] M est donc le barycentre du système de points pondérés [pic]. On démontrerait de même que N est le barycentre du système de points pondérés [pic]. 2. a) D’après la règle d’associativité, le barycentre H des points pondérés {(A,3) ;(D,1) ; (C,1)} est aussi le barycentre des points pondérés {(A,3) ;(J,2)}car J milieu de [CD] est l’isobarycentre des points C et D. En conséquence, les points H, A et J sont alignés et

1 DÉFINITIONS Flexion Plusieurs forces perpendiculaires à la ligne moyenne de la poutre. Effort tranchant Soit une poutre sur 2 appuis soumise à 2 forces F1 et F2, les actions aux appuis sont A et B : (S) A F2 F1 B Les efforts tranchants (T) sont les forces extérieures perpendiculaires à la ligne moyenne de la pièce. Dans toute section droite (S) : T = somme vectorielle de toutes les forces situées à gauche de la section considérée. Isolons le tronçon situé à gauche de la section (S) : il

Exercices : utilisation des barycentres Exercice 1 ABC est un triangle quelconque. D est le point tel que AD = 2 AC . 3 A’ est le symétrique de A par rapport à B. (A’D) et (BC) se coupent en O. A l’aide de barycentres bien choisis, démontrer que O est le milieu de [BC] et préciser la position de O sur (A’D). Exercice 2 Soit ABCD un rectangle (AB = 6 cm ; BC = 4 cm). Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que : → → → → → → 3MA – 2MB + 2 MC = MB + MC + MD 

------------------------------------------------- EXERCICE 1 Soit ABC un triangle. 1) Construire les points G, H, I, et J définis par, s’ils existent: AG=2AB-23AC , H est le barycentre de (A,-2),(B,1) et (C,3), I est le barycentre de (A,-2),(B,-1) et (C,3), et AJ=2AB-3JC. 2) Ecrire G et J comme barycentres de A et B. 3) Soit M un point du plan. Simplifier 2MA-MB-3MC 4) Déterminer l’ensemble (L) des points M tels que 2MA-MB-3MC soit colinéaire à GJ. -------------------------------------------------

Corrigés 1 20 janvier 2010 Réponses exercice 1 : centre de gravité de DEF = barycentre de (D; 6)(E; 6)(F; 6) = barycentre de (A; 1)(B; 2)(C; 3)(A; 2)(B; 3)(C; 1)(A; 3)(B; 1)(C; 2) = barycentre de (A; 6)(B; 6)(C; 6) = centre de gravité de ABC. Réponses exercice 2 : ! ! ! a) Pour tout point M , 2M A + 3M B = 5M C. ! On cherche l’ ensemble des points M tels que 5M C = 10, M C = 2: Il s’ agit donc du cercle de centre C et de rayon 2. ! ! ! ! ! ! b) Pour tout point M , 2M A + 3M B = 5M C et 3M A + 2M

+ 7x – 2 Exercice 1 : On considère un segment AB tel que AB = 6 cm 1) Justifier l ‘existence du point G barycentre de (A, 5) et (B, -2) . 2) Placer après justification le point G. 3) Déterminer l’ensemble E des points M du plan P tel que =12 et le tracer. 4) Simplifier le vecteur V= 5KA – 2KB + 3 GB, K étant un point du plan P. 5) Déterminer A comme barycentre de B et de G. Exercice 2 : Pour cet exercice, une figure peut permettre de vérifier les résultats mais n’est pas

Barycentre I. Rappels 1) Vecteurs du plan Les points A et B étant distincts, le vecteur [pic] est caractérisé par : - sa direction ( celle de la droite (AB)) - son sens ( de A vers B ) - sa longueur ou sa norme (AB ou [pic]) Vecteurs égaux [pic] = [pic] signifie que les vecteurs [pic] et [pic] ont même direction, même sens et même norme, ou encore que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Si A et B sont confondus, [pic] est le vecteur

(1pt) Exercice 3: (06,5 Points) Soit un rectangle ABCD. Les points A, B, C et D affectés respectivement des coefficients : 2, -2, 3, -1 1) Construire leur barycentre G. (3pts) 2) Pour tout point M du plan démontrer que :2MA-2MB+3MC-MD=2MG (0,5pt)

BARYCENTRE DE 2 POINTS PONDÉRÉS (ET PLUS ...) Motivation : sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est le poids M ? 150 kg M=? 6m 2m 1. Barycentre de deux points pondérés : définition Définition 1 En toute rigueur, il faudrait Soient a et b deux réels tels que a + b ¹ 0. au préalable prouver l'existence et l'unicité d'un tel On appelle barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B, b) le point G défini par : ® ® ® a GA + b GB = 0 point G. Voir le cours de terminale pour

Exercice 2 : Soit A et B deux points du plan tels que AB=5 1) Soit G le barycentre des points pondérés (A;2) et (B;3), ==>2*GA+3*GB=0 montrer que pour tout point M du plan : 2MA²+3MB²= 5MG²+2GA²+3GB² MA=MG+GA==> MA^2=MG^2+GA^2+2*MG.GA MB=MG+GB==> MB^2=MG^2+GB^2+2*MG.GB 2*MA^2+3*MB^2=2*MG^2+2*GA^2+4*MG.GA+3*MG^2+3*GB^2+6*MG.GB 2*MA^2+3*MB^2=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2+2*MG*(2*GA+3*GB)=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2 2) a. exprimer les vecteur GA et GB en fonction u vecteur AB b en deduire les distances GA et