Base forte

connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base à la base 2. Rôle de

recherche. Le résultat n'est pas forcément l’élément principal de l'évaluation. Les exercices proposés ne sont donc pas nécessairement en lien avec les notions travaillées actuellement. Certains d'ailleurs ne font appel qu'à des notions et acquis de base. Pour d'autres par contre, il vous sera bien utile d'exploiter vos nouvelles connaissances ou compétences. Ces exercices demandent de la recherche, de la prise d'initiative, de l'imagination aussi pourquoi pas, mais aussi de l'organisation et de la

dimension 1: Plus précisément pour toute base B = (e1 ; :::; en ) de E, il existe une unique forme n linéaire alternée valant 1 pour la base B. Cette application s’appelle déterminant dans la base B et on la note detB : De plus : X 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 E n : detB (x1 ; :::; xn ) = " ( ) a1 (1) :a2 (2) :::an (n) où xj = n X i=1 2Sn aij ei ,8 j 2 [[1; n]] Preuve : Notation : Soit (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 E n ; B = (e1 ; :::; en ) une base de E, et : xj = n X i=1 aij ei

Famille de vecteurs Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Famille génératrice Famille libre, famille liée Base d'un espace vectoriel Composantes dans une base Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n). Dans le cas

; on a  a, b, c   a' , b' , c'  a  a' ,b  b' ,c  c' H car 2(a  a' )  (b'b)  (c  c' )   2a  b  c   2a'b'c'   .0  0  0. Alors H est un sous espace vectoriel de R 3 . III. Famille génératrice – Famille libre - Base. 1. Famille génératrice Définition. Soit E un s.e.v de R n et u1 ,..., u p  E. On dit que u1 ,..., u p est une famille génératric e de E si : X  E, ils existent 1 ,...,  p tels que X  1u1  2u2  ...   p u P . ( X est une combinaiso n

caractérisée par un transfert de proton H+ entre un acide et une base. Un acide est une entité capable de libérer un proton H+ et une base est une entité capable de capter un proton H+ (J.Bronsted, 1879-1947). Les couples acides / bases Deux entités forment un couple acide-base si on peut passer d'une entité à l'autre par gain ou perte d'un proton H+. L'acide est noté AH et la base A-. Un couple acide-base s'écrit de la manière suivant : (acide/base) soit (AH/A-). Les deux espèces chimiques sont conjuguées

Calculer le rang de la famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) 2. Justifier que ces vecteurs forment une famille g´n´ratrice de R3 . e e 3. Extraire de cette famille une base B de R3 , en justifiant votre r´ponse. e 4. Soit v = (−2, 2, 1) un vecteur de R3 , calculer ses coordonn´es dans la base B e 1 Exercice 2 (9 points) On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et w1 , w2 et w3 les vecteurs suivants : w1 = (3, −1, 2), w2 = (−1, 3, 2) et w3 = (1, 1, 2).   f (e1 ) = w1 Soit f l’application lin´aire

y = x − p(x). Il est clair que x = p(x) + y, et comme p(y) = 0, y ∈ ker(p). (b) Considérons une base de E formée par la réunion d’une base de Im(p) et d’une base de ker(p) (on obtient bien une base de E car les sous-espaces sont supplémentaires). Alors la matrice de p dans cette base a exactement la forme voulue. La trace de p (ie la trace de cette matrice) vaut donc le nombre de vecteurs dans une base de Im(p), donc la dimension de Im(p), c’est-à-dire encore le rang de p. 2. Il est clair que Im(pj

I : Soient 3 vecteurs définis dans le repère orthonormé direct B[pic]. [pic] a) Montrer que ces trois vecteurs forment une base B’. b) Donner la matrice de passage de B à B’ . Exercice II : Montrer que les vecteurs[pic]forment une base B’. Déterminer les composantes du vecteur [pic] dans cette base  en utilisant la matrice de passage de la base B [pic]à la base B’. Exercice III : Calculer les produits scalaires des vecteurs :[pic] - Donner la valeur des angles ([pic],[pic]) ; ([pic]

vectoriel. e (c) L’ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel ? 3. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base (e1 , e2 ). Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ? A := {xe1 + ye2 ; 2x − y = 0} , B := {xe1 + ye2 ; 2x − y = 0} ∪ {xe1 + ye2 ; x − 2y = 0} 4. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et de base B = (e1 , e2 ). Les familles de vecteurs suivants de E sont-elles des familles libres ou li´es? Sont-elles des bases ? Pour chacune de