Bijection réciproque

La fonction logarithme népérien, définie sur R+∗ et notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : ∀x>0 , ln(x)=y⇔x=ey Pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy)=ln(x)+ln(y) Pour tout réel x : ln(ex)=x Pour tout réel x strictement positif : eln(x)=x ln(1)=0 BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x)

On pourra poser ( ) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 31 Exercice 32. ( ) Soit l’application définie par ( ) 1. Déterminer un développement limité de à l’ordre en . 2. Montrer que est une bijection et que sa bijection réciproque est de classe , en déduire que a un développement limité à l’ordre . ( ) ( ) le développement limité de On note en . ( ( )) 3. En déduire le développement limité de en exploitant la relation . Allez à : Correction exercice

[pic] Quels que soient a et b réels : [pic] [pic] Il est également important de connaître une valeur approchée de La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][ Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x). Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [pic][ et à valeurs dans R est

les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. FONCTIONS USUELLES PLAN I : Fonctions exponentielles 1) Exponentielles et logarithmes 2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 3) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires 1) Fonctions trigonométriques 2) Réciproque des fonctions trigonométriques Annexe : trigonométrie I : Fonctions exponentielles 1– Exponentielles et logarithmes 1 u ln(x) est la primitive de définie sur ]0, +∞[ et s'annulant en x = 1. Autrement

suivante I.1 Fonctions d’une variable réelle I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition

Fonction exponentielle  (népérienne : base e) | * Nom de la fonction : fonction exponentielle de base e * Notation : Exp. On a l'équivalence : y = Exp(x)   y = ex  (y exposant x) x = ln y C'est dire que la fonction Exp est la fonction réciproque de ln. La notation puissance : ex, est due à Euler * Etymologie : du latin exponer = exposer : placer à côté. Le terme est dû à Jacques (Jakob) Bernoulli. * Ensemble de définition : R tout entier, image de ]0 , + [ par la fonction ln

Activit´e de math´ematiques Composition de fonctions et encadrement On consid`ere les fonctions de r´ef´erence suivantes : – fonction affine de param`etres a et b : f (x) = ax + b 1 – fonction inverse : f (x) = x – fonction carr´e : f (x) = x2 Encadrement et sens de variation 1. Rappeler les ensembles de d´efinition ainsi que les tableaux de variations des fonctions affines, carr´e et inverse. 2. On consid`ere un nombre r´eel x tel que 1 x 2. (a) D´eterminer le tableau de variations de la fonction

nombre réel x par : exp : x ) ex, avec ln (e) = 1 et e = 2,718 281 …… On a donc exp(x) = ex ; ex = y x = ln y (y > 0) En effet, ex = y ln(ex ) = ln y et x×ln(e) = ln y soit x = ln y Fonctions réciproques ✓ La fonction "carré" admet sur les réels positifs une fonction réciproque appelée "racine carrée". 1- Dans le repère orthogonal ci-contre, sont présentées les courbes U, V et W représentatives des fonctions f(x) = x², g(x) = et h(x) = x. 1. Sur le graphique identifier

2.3 Fonction de IR dans IR Soit Alors est une fonction ssi A chaque x de A correspond 1 seul élément f(x) de B Remarque : A : domaine de définition B : domaine image 2.4 Image et image réciproque Soit 2.4.1 Image Ensemble image par f de 2.4.2 Image réciproque Ensemble image réciproque de f par B’⊂ B : Remarque : si f est une fonction, f-1 n’est est pas tjrs une 2.5 Applications surjectives, injectives et bijectives 2.5.1 Application (=fonction) injective : Des éléments ≠ ont

sur car dérivable sur . Donc f réalise une bijection de vers  lim th  x  ; lim th  x  . x   x  th'  x   Calcul de la limite en + : Soit x th  x   ex  e x ex 1  e2 x  1  e2 x , or lim e2 x  lim e X  0 avec X  2x .   x  X  ex  e x ex 1  e2 x  1  e2 x 1  e2 x  1 , alors lim th  x   1 , la fonction th étant impaire, lim th  x   1 . x x  x  1  e2 x Donc lim Donc f réalise une bijection de vers 1; 1 . f. th  0  0 et th'