Bijection réciproque

plan étant choisi, le graphe de f s’identifie à l’ensemble des points de coordonnées (x; f (x)) pour x décrivant E, appelé courbe représentative f dans R. PCSI 1 Lycée Descartes 2 LES FONCTIONS USUELLES I.2 Injection, surjection, bijection Définition I.3 Une application f : E → F est : • injective si tout élément de F possède un unique antécédent par f . • surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent par f . • bijective si elle est injective et surjective ou autrement

1.2. Corollaire La fonction exponentielle est une bijection de  sur  * + Démonstration : On rappelle qu'une application ¦ : E ® F est une bijection lorsque tout élément l de F admet un et un seul antécédent c dans E (ou de manière équivalente, l'équation ¦(x) = l admet une unique solution c dans E). Soit l Î  * . Comme la fonction exponentielle est continue et strictement croissante et à valeurs dans  * , le + + théorème de bijection assure l'existence d'un unique c Î  tel que ec = l

application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E).

composition de fonctions n’est en général pas commutative : f ◦ g = g ◦ f. Par exemple, dans le cas précédent, on a (f ◦ g)(x) = cos2 (x) + 1. Serge Dumont Mathématiques 2015-2016 14 / 44 5 – Fonctions injectives, surjectives, bijectives, réciproques 5.1 – Fonctions injectives Définition 10 Une fonction f : X → Y est dite injective sur X (ou est une injection sur X) si, pour tout y dans l’ensemble d’arrivée Y , il existe au plus un élément x dans l’ensemble de départ X tel que f (x) = y. (y

népérien. 1°) Définition – courbe représentative. Définition (bijection) : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I réalise une bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I). Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un intervalle I sur J = f(I) ; Tout réel y∈J admettant un unique

1) f est continue (sur D) [pic] 2) f est continue en tout point de [pic] [pic] 3) f est continue sur [pic] [pic] Il est alors évident logiquement que [pic] mais que les réciproques sont fausses en général. [pic] Sur l’exemple : - f n’est pas continue sur le segment [pic] - f n’est pas continue en tout point de [pic] (puisqu’elle ne l’est pas en 1) - [pic] est continue : f

de bijection Théorème 4 Soit une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b]. Si, pour tout ]a, b[, , alors réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [(a), (b)]. Si, pour tout ]a, b[, , alors réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [(b), (a)]. Remarque : On peut remplacer (a) par et [a, b] par ]a, b], [(a), (b)] par ], (b)], lorsque n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie). si est la bijection réciproque, alors

sur ). R 5. Injection, surjection et bijection : définitions et négations des trois notions. exp : → ∗ est surjective de dans ∗ et non injective sur . f est bijective de E dans F ssi il existe g : F → E telle que f ◦ g = IF et g ◦ f = IE , on note g = f −1 . Définition d’une involution. Si f involutive sur E alors f −1 = f . Stabilité des trois notions par composition, et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 . C C C C C 6. Images directe et réciproque d’une partie : Si f : E → F et A ⊂ E, B ⊂

PCSI1-PCSI2 DNS n 04 - Cahier vacances ˚ 2011-2012 Ce qui suit fera office de cours sur les notions d’injection/surjection/bijection. Les exercices obligatoires, à traiter en priorité sont les suivants : , , , et et , , , et , , . Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Définitions de injection-surjection-bijection On considère une application , où est l’ensemble de départ (ensemble de définition , par . existe (de manière et s’il existe

réalise une bijection de U sur V . On vérifie aisément que U et V sont des ouverts (par image réciproque d’ouverts par des applications continues pertinemment construites) et que ϕ ainsi que ϕ−1 sont de classe C 1 .     u = x + 1 cos(y)  x + 1 cos v − 1 cos(x)   2 2 2 ϕ(x, y) = (u, v) ⇔ ⇔ 1   1  v = y + cos(x)   y = v − cos(x) 2 2 Considérons fv : x → x + =u 1 1 cos v − cos(x) 2 2 Une étude fonctionnelle montre que fv réalise une bijection strictement