Bijection réciproque

fonctions logarithmes Définitions Parmi les propriétés vérifiées par les fonctions exponentielles, on a noté la propriété suivante : quelque soit la base a que l’on se fixe, on a ax = ay ⇔ x = y. Cela signifie que la fonction [x → ax ] est une bijection. Autrement dit, pour tout nombre positif y, il existe un unique x ∈ R tel que y = ax . C’est ce nombre x que l’on appelle le logarithme en base a de y, que l’on note loga (y). Ainsi, x = loga (y) ⇔ y = ax . Ainsi, dire que 25 = 32 revient à dire

fonctions logarithmes Définitions Parmi les propriétés vérifiées par les fonctions exponentielles, on a noté la propriété suivante : quelque soit la base a que l’on se fixe, on a ax = ay ⇔ x = y. Cela signifie que la fonction [x → ax ] est une bijection. Autrement dit, pour tout nombre positif y, il existe un unique x ∈ R tel que y = ax . C’est ce nombre x que l’on appelle le logarithme en base a de y, que l’on note loga (y). Ainsi, x = loga (y) y = ax . ⇔ Ainsi, dire que 25 = 32 revient à dire

calcul booléen : cf. ci-dessous, 40. 41. Suites et séries numériques 2, à l’exception du paragraphe 2 « séries numériques » et du TP 4, 42. 43. Fonctions d’une variable réelle 2, à l’exception des fonctions circulaires, des fonctions circulaires réciproques, des fonctions hyperboliques et des fonctions à valeurs complexes, 44. 45. Calcul différentiel et intégral 1, où le TP 3 ne concerne que les calculs d’aires, 46. 47. Algèbre linéaire 1, où la dernière phrase du bandeau se termine par : « des

ensembliste, calcul booléen : cf. ci-dessous, Suites et séries numériques 2, à l’exception du paragraphe 2 « séries numériques » et du TP 4, Fonctions d’une variable réelle 2, à l’exception des fonctions circulaires, des fonctions circulaires réciproques, des fonctions hyperboliques et des fonctions à valeurs complexes, Calcul différentiel et intégral 1, où le TP 3 ne concerne que les calculs d’aires, Algèbre linéaire 1, où la dernière phrase du bandeau se termine par : « des outils efficaces

x→0 1 , x [x] , x cos π2 cos x . x→0 sin(sin x) lim I.1.2. Soit f : ]−a , a[ \ {0} −→ R une fonction. Démontrer que (a) lim f (x) = l si et seulement si lim f (sin x) = l, x→0 x→0 (b) si lim f (x) = l, alors lim f (|x|) = l. L’implication réciproque est-elle x→0 x→0 exacte ? I.1.3. Soit f : ]−a , a[\{0} −→ R∗+ une fonction vérifiant lim f (x) + x→0 1 f (x) = 2. Montrer que lim f (x) = 1. x→0 I.1.4. Soit f une fonction définie sur un voisinage épointé de a telle que 1 = 0. Déterminer lim

RATIONNELLE – BSO(k)0 = i=1 K(Q, 4i) k −1 2 si k est impair ; – BSO(k)0 = K(Q, k) × i=1 K(Q, 4i) si k est pair. Si X est un CW-complexe, l’ensemble [X, BSO(k)0 ] des classes d’homotopie d’applications de X dans BSO(k)0 est donc en bijection naturelle avec k−1 2 – i=1 H 4i (X; Q) k −1 2 si k est impair ; – H k (X; Q) ⊕ i=1 H 4i (X; Q) k si k est pair. La colimite BSO = hoco lim BSO(k) admet pour rationalisation → BSO0 = i>0 K(Q, 4i). Définition 3.3 Deux

Contenu : Eléments de géométrie plane, Nombres complexes (module, argument, racines carrées, cubiques), Trigonométrie et fonctions trigonométriques, Formules de trigonométrie (ex : transformation de a cos ω t + b sin ω t ), Définition des fonctions réciproques des fonctions trigonométriques, Factorisation de polynômes de degré peu élevé, Equation de degré deux à coefficients complexes, Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, Vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel, produit

que a1 + a2 + a3 > 10 ⇔ (7 − a1 ) + (7 − a2 ) + (7 − a3 ) ≤ 10. Ainsi, si A désigne l’événement "la somme des points obtenus est strictement supérieure à 10", nous remarquons que l’application (a1 , a2 , a3 ) → (7 − a1 , 7 − a2 , 7 − a3 ) est une bijection de A sur Ac . Les événements A et Ac ont donc même cardinal, et donc même probabilité de réalisation. Une difficulté majeure dans ce style de E C combinatoire est de bien préciser le T calcul modèle probabiliste. De célèbresO LY paradoxes sont nés

identité, linéaire, affine, puissance entière positive et négative, racine carrée, valeur absolue, sin(x), cos(x), x x tan(x), e , a , ln(x), loga(x). tracer des courbes déduites : f(-x), -f(x), -f(-x), |f(x)|, f(|x|), f(x + k), f(x) + k, k · f(x), réciproque de f et leurs composées 27 Directives pour l’examen suisse de maturité, mise en vigueur le 1er janvier 2012 Suites réelles Mathématiques énoncer le principe de récurrence faible et l'appliquer à la démonstration de théorèmes définir et reconnaître

graphiquement sur [0, +∞[ la fonction x a xe− x . Comparer les images des nombres a et ar ( a ) par cette fonction. (ii) En déduire que la fonction ϕ , définie pour 0 ≤ x ≤ 1 par ϕ( x ) = xe − x ,  1 réalise une bijection de [0,1] sur 0,  . Citer les propriétés de sa  e fonction réciproque ϕ−1 et dresser le tableau de variation de ϕ−1 . 1 (iii) Prouver que r (a ) = ϕ−1 (ae − a ) , puis déterminer la limite de r ( a ) en +∞ . a c) On étudie maintenant la limite de la suite (uk ) lorsque a ≥