Bijection réciproque

13 Les valeurs propres des matrices triangulaires sont les coefficients diagonaux. S’il existe un polynôme P tel que P (A) = 0 (polynôme annulateur), alors toutes les valeurs propres de A sont racines de l’équation P (λ) = 0. Attention : la réciproque est fausse. Si P est un polynôme annulateur de A et si P (λ) = 0, alors λ n’est pas nécessairement valeur propre de A, il est impératif de le vérifier à l’aide des vecteurs propres. Si λ est valeur propre de A, alors pour tout entier k, λk est

élément de C∗ possède un inverse pour la loi × : ∀z ∈ C∗ , ∃z ∈ C∗ | z × z = z × z = 1 (Si z = x + iy alors z = xx−iy2 = 1 = z −1 ). 2 +y z (3) Soit E un ensemble et soit S(E) l’ensemble des bijections de E sur E, soit ◦ la loi de composition interne définie par la composition de deux bijections. Montrer à titre d’exercice que (S(E), ◦) est un groupe et qu’il est non abélien et E a au moins trois éléments. En particulier, pour n ∈ N, soit E = {1, . . . , n}. Alors S(E) est noté Sn . Sn

Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) Permutations. C’est le nombre de facons d’ordonner un ensemble à n éléments, et c’est n!. C’est aussi le nombre de bijections E → E. Exemple: le nombre de facons d’attribuer des chaises à 10 convives autour d’une table est 10! = 3628800 La fonction n! croit très vite. Une bonne approximation est la formule de Stirling: √ n! 2πn n e n . Frédéric Naud, département

élément de C∗ possède un inverse pour la loi × : ∀z ∈ C∗ , ∃z ′ ∈ C∗ | z × z ′ = z ′ × z = 1 1 −1 (Si z = x + iy alors z ′ = xx−iy ). 2 +y 2 = z = z (3) Soit E un ensemble et soit S(E) l’ensemble des bijections de E sur E, soit ◦ la loi de composition interne définie par la composition de deux bijections. Montrer à titre d’exercice que (S(E), ◦) est un groupe et qu’il est non abélien et E a au moins trois éléments. En particulier, pour n ∈ N, soit E = {1, . . . , n}. Alors S(E) est noté Sn . Sn est

∈F 1 ∈F 2 ❑ on a (p ◦ p)(x) = p(x1 ) = x1 . D’où p ◦ p = p. Définition 5 On appelle projecteur toute application p ∈ L(E) telle que p ◦ p = p. Nous avons donc prouvé que toute projection était un projecteur. Prouvons maintenant la réciproque. Proposition 3 Tout projecteur p réalise une projection sur m(p) parallèlement à Ker(p). Preuve Montrons d’abord que m(p) et Ker(p) sont supplémentaires. Nous allons prouver que pour tout vecteur x de E, il existe un unique couple (x1

variations 0 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle 1/2 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle 2/2 Puissances réelles Fonctions puissances Pour n ∈ IN , la fonction x ֏ xn est une bijection de ]0 ; +∞[ dans ]0 ; +∞[, c'est* Définition - Propriétés Les puissances réelles d'un nombre strictement positif a sont définies par : ax = ex ln a pour tout nombre réel x. Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tous réels x et

– Une application linéaire est complètement déterminée par sa matrice dans un couple de bases donné. Si dim(E) = p 1 et dim(F ) = n 1, l’application de L(E, F ) dans Mn,p (K) qui à f associe sa matrice dans un couple de bases donné est donc une bijection. – Si f : E → F est linéaire et si change la base de E ou de F , la matrice de f est, en général, modifiée. On analysera plus loin cette dépendance en fonction du couple de bases. En revanche, la matrice de l’application nulle est la matrice nulle

laquelle on a : 1 − un < 10−3 . Exercice 2 1) Montrer que, si f désigne un endomorphisme de ℝ 3 diagonalisable, alors l’endomorphisme f est aussi diagonalisable (on rappelle que f 2 = f 2 f ). On se propose dans la suite de montrer que la réciproque de cette assertion est fausse. Pour ce faire, on considère l’endomorphisme g de ℝ 3 dont la matrice dans la base canonique de ℝ 3 est :  0 2 −1   A =  2 −5 4   3 −8 6    On note I la matrice identité de M 3( ℝ ). 2) a) Déterminer la matrice

+ k avec k ∈ IR. ]0 ; +∞[ IR 1/2 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Primitives 2/2 Logarithme Népérien Limites - Variations lim ln x = +∞ ; lim ln x = -∞ ; lim x ln x = 0 ; lim x→0 x>0 x→+∞ Définition - Propriétés La fonction réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme ln : ]0 ; +∞[→ IR népérien. On la note x ֏ ln x lim x→+∞ ln x =0 x * et pour n ∈ IN lim x→+∞ x→0 ln x =0. xn +∞ +∞ 0 On dit que le nombre réel e tel que ln e = 1 est la base du

Leonhard Euler (1707 ; 1783). C’est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu’il s’agisse de l’initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel. La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque du logarithme népérien. Autrement dit : si ln(x) = y alors x = exp(y). Or exp(1) est justement égal à e. Dans « Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Rappelons que par exemple