Bijection réciproque

qu'un graphe à n sommets, chacun de degré au moins 2, possède un cycle. b) Prouver que si un graphe possède n sommets et au moins n arêtes, alors il possède un cycle. Une fête regroupe n personnes, chacune ayant un ami présent (l'amitié étant réciproque...). Dans tout groupe d'au moins trois personnes, il n'y a jamais exactement deux paires d'amis. Prouver que chaque personne est amie avec toutes les autres. Dans un pays, il y a au moins 101 villes, et des liaisons aériennes directes (aller-retour)

L’inégalité triangulaire montre alors que |un| < 1 + | | pour n ≥ N. On en déduit que |un| est majorée par max(|u0|, |u1|, . . . , |uN−1|, 1 + | |) pour tout n ∈ N, ce qui prouve notre assertion. n Attention Suites bornées non convergentes La réciproque de la proposition précédente n’est pas vraie. Prenons par exemple la suite (un)n∈N définie par un = (−1)n. Elle est bornée par 1, mais elle n’est pas convergente comme cela vient d’être vu dans l’exemple 22.10. Ch.22. Les suites réelles ou complexes

L’ensemble F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : ∀v, w ∈ F ∀v ∈ F , ∀λ ∈ R v+w ∈F λv ∈ F (1) Démonstration : Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors c’est un espace vectoriel et (1) est vrai. Montrons la réciproque. Parmi les 8 propriétés de la définition 1, celles qui ne font intervenir que le quantificateur ∀ (associativités, commutativité, distributivités), puisqu’elles sont vraies dans E, restent vraies dans F à cause de (1). Il suffit donc de vérifier les

I, u(x) > 0. On peut alors définir une fonction f sur I par : f(x) = ln(u(x)). Si u est dérivable sur I, alors f est dérivable sur I et f’(x)= u ' x  u  x 13 Fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée exp est la fonction réciproque de la fonction ln : pour tout x ∈ ]0;+∞ [ et tout y ∈ ]-∞;+∞ [, ln  x  =y ⇔ x = exp  y  Conséquence graphique : les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =x La fonction exp est définie sur ℝ ,

est clair que v ≥ 1 puisque, pour chaque k, 1−1 1 ≥ 1. Alors, par composition des limites, (ln(Vn )) converge vers ln(v) (le pk point clé est ici de remarquer que v est strictement positif, pour que (ln(Vn )) admette bien une limite finie). La réciproque se prouve en composant avec l’exponentielle. 2. Étudions donc la suite (ln(Vn )). On a N ln(Vn ) = k=1 ln 1 1 − p1 k N = k=1 − ln 1 − 1 pk . Dire que la suite (ln(Vn )) est convergente équivaut donc à dire que la série

Formules trigonométriques (a cos 2πf t + b sin 2πf t = A cos (2πf t + ϕ), etc.) • Réciproques des fonctions trigonométriques • Factorisation de polynômes de degré peu élevé • Equation de degré deux à coefficients complexes • Décomposition en éléments simples Prolongements possibles • Racines n-ièmes • Applications des transformations usuelles dans le plan complexe (Bode, Nyquist, etc) • Concept de bijection Indications de mise en œuvre • Mise en place de différents types de raisonnement

) • Formules trigonométriques (a cos 2πf t + b sin 2πf t = A cos (2πf t + ϕ), etc.) • Réciproques des fonctions trigonométriques • Factorisation de polynômes de degré peu élevé • Equation de degré deux à coefficients complexes • Décomposition en éléments simples Prolongements possibles • Racines n-ièmes • Applications des transformations usuelles dans le plan complexe (Bode, Nyquist, etc) • Concept de bijection Indications de mise en œuvre • Mise en place de différents types de raisonnement (par

−→ P(xi ) Notons β(E) resp. β(E ∗ ) l'ensemble des bases de E (resp. E ∗ ). Le Th. - Déf. p. 16 permet de définir une application d : β(E) −→ β(E ∗ ) qui, à chaque base B B −→ B∗ ∗ de E associe sa base duale B . Nous allons montrer que d est une bijection. ni Mo er A n ie re Monie lgèb r éom é bre G r Algè onier étr ie M éom onier èbre M r Alg G Mo n ie Mo tr i e Géomé Existence d’au moins une base en dimension finie, cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 6.4 Th. - Déf. 1. a) Le K-ev E admet au moins

différentielle appelée la différentielle extérieure de f . D ÉFINITION I.1.3. Soient U un ouvert de R p et V un ouvert de Rn . Soit ϕ = (ϕi )i : U → V une fonction de classe C 1 . Soit ω = ∑ ωi dxi une 1-forme différentielle sur V . On appelle image réciproque de ω par ϕ la 1-forme différentielle ϕ ∗ ω définie sur U par ϕ ∗ ω = ∑ (ωi ◦ ϕ) dϕi i où dϕi est le différentielle extérieure de ϕi . En particulier, si ω = dg est la différentielle extérieure d’une fonction g alors ϕ ∗ ω = d(g ◦ ϕ) (i.e. ϕ ∗

(E ,≤), est appelé en- semble partiellement ordonné Soient [Davey et Priestley, 2002]. Q deux ensembles partiellement ordonnés. Nous disons que P et Q sont ordre-isomorphes, noté P ∼ Q, s'il existe une bijection f : P ⇒ Q et tel que : = et P x≤y La bijection dans P ⇔ f (x) ≤ f (y) dans Q. f est ainsi dite ordre-isomorphisme [Davey et Priestley, 2002]. [Ganter et Wille, 1999] Relation de couverture x, y deux éléments de Soient E un ensemble