Bijection réciproque

situé entre f(a) et f(b) (ces deux valeurs comprises) ; alors il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Mathématiques Terminale ES – V06/09 – page 4 © Complétude 2009/2010 b - Cas d’une fonction monotone « Théorème de la bijection » Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a ; b], alors pour tout réel k situé entre f(a) et f(b) (ces deux valeurs comprises), l’équation f(x) = k admet une solution unique. II. LES LIMITES 1° Limites en

traitement constitué par ces trois produits. De combien de façons possibles peut-on organiser ce traitement ? SOLUTION. Le nombre de traitements possibles est le nombre de permutations d’un ensemble à trois éléments, qui est aussi le nombre de bijections d’un ensemble à trois éléments : c’est 3 !, factorielle 3, qui vaut 3 × 2 × 1 = 6. Il y a 6 façons possibles d’organiser le traitement. On peut énumérer facilement les six façons possibles d’organiser le traitement avec trois produits A, B, C :

effet, ces moyens auraient alors eux-mêmes consommé des ressources, augmentant mathématiquement la vulnérabilité de l’entreprise : l’effet inverse de celui recherché ! Voilà qui semble confirmer largement notre postulat initial et en permet même la bijection : « Gérer l’entreprise, c’est gérer les risques. Gérer les risques, c’est gérer l’entreprise. » Pour toute organisation, mais en réalité pour tout organisme « vivant », la connaissance des risques auxquels il est exposé est une question de survie

Y 4 n = 5, x = 0, y = 2 et X et Y non indépendantes avec –1 0 1 2 1 0 1 4 n ∑x y i i = 0 ⇒ r ( X , Y ) = 0 et Y = X 2 i=1 ⇒ Le coefficient de corrélation linéaire entre deux variables quantitatives indépendantes est nul, mais la réciproque n’est pas vraie : ⇒ X et Y indépendantes r(X, Y) = 0 ⇒ 2) Droite des moindres carrés ‫’ބ‬ Dans toute l’étude précédente, on a fait jouer des rôles non symétriques à X et à Y. On a procédé comme si la variable X pouvait être mesurée, et qu’on

rot(u)ij := ∂xj ∂xi On suppose de plus l’ouvert Ω simplement connexe. Alors, rot(u) = 0 entraîne qu’il existe une fonction ϕ : Ω → R appelée fonction potentiel telle que u = ∇ϕ. Remarque 1.1.2. L’égalité rot(∇·) = 0 a toujours lieu. Par contre, la réciproque nécessite de se placer dans un ouvert simplement connexe. Puisque div(u) = 0 et u = ∇ϕ, on en déduit que ϕ vérifie l’équation de Laplace ∆ϕ = 0, dans Ω, à laquelle il faut ensuite ajouter des conditions aux limites. 1.1.3 Trafic routier Dans

Corollaire 2.3.1. Soit K un sous-ensemble convexe et fermé de Rn et J : Rn → R une fonction différentiable au point xmin ∈ K. Si J admet sur K un minimum local en xmin , alors J(xmin ) (x − xmin ) ≥ 0 ∀x ∈ K. Si de plus J est convexe, alors la réciproque est vraie. En effet, on a J(x) ≥ J(xmin ) + d’où J(x) ≥ J(xmin ). La fonction J admet donc un minimum global en xmin . J(xmin ) (x − xmin ) ∀x ∈ K, Cas des contraintes de type égalité On suppose ici que l’ensemble des contraintes est de la forme

côté ou cet angle est compris entre 0 et π. Mais s'il est donné par son sinus, il y a deux valeurs pour cet angle ou ce côté. Nous lèverons toute ambiguïté grâce à la règle des quadrants. Remarque: nous utiliserons les déterminations suivantes des réciproques des fonctions trigonométriques: arccos : ]−1;1[ → ]0; π [ arcsin : ]0;1] → ]0; π 2] arg cot : ]−∞; ∞[ → ]0; π [ arctan : R/ * → ]0; π 2[ ∪ ]π 2; π [ 1. Lorsque l'hypoténuse et un côté sont donnés : Sont donnés l'hypoténuse c et le côté b (par

rotations planes correspondantes, donc à additionner les angles. 2. On trouve det(R(θ )) = cos2 (θ ) + sin2 (θ ) = 1 = 0 puis R(θ )−1 = cos θ − sin θ sin θ cos θ = R(−θ ). REMARQUE : Là encore, le point de vue géométrique est primordial. La bijection réciproque d’une rotation est une rotation d’angle opposé. - 26 - C Espaces vectoriels Plan de cours I II III IV V Définitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Espaces vectoriels . . . . . . . . .

qui, à tout nombre réel x, associe le nombre réel y strictement positif dont le logarithme népérien est x : Pour tout y > 0 et pour tout x, y = exp(x) ⇔ x = ln y. Remarques 1) On dit que la fonction ln est une bijection de ]0 ;+∞[ sur R et que la fonction exp est sa fonction réciproque. 2) Pour tout réel x, on note : exp(x) = ex Par exemple, exp(1) = e1 = e et exp(0) = e0 = 1. 3) Pour obtenir des valeurs approchées de ex à l’aide de la calculatrice, on tape 2nd ln Ainsi, la calculatrice TI

quelques caractéristiques sur la forme de la distribution : – si g1 > 0, la distribution est étalée vers la droite, – si g1 < 0, la distribution est étalée vers la gauche, – si g1 5 0, on ne peut pas conclure que la distribution est symétrique mais la réciproque est vraie, – si g2 > 3, la distribution est moins aplatie qu’une distribution gaussienne, – si g2 < 3, la distribution est plus aplatie qu’une distribution gaussienne. Caractéristiques de concentration Ces caractéristiques sont utilisées pour une