Calcul stochastique

. . . . . . . 2 4 2 3 2 Dénition de l'intégrale stochastique au sens d'Itô 5 5 8 8 3 Formule d'Itô Processus d'Itô et formule d'intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule d'Itô en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ Equations diff´rentielles stochastiques e en dimension finie et infinie Vincent B´n´zech, Philippe Bouafia e e Nous tenons ` remercier chaleureusement Arnaud Basson, qui nous a encadr´ avec a e constance et nous a orient´ vers des r´sultats fascinants sur les ´quations en dimension e e e infinie. En l’absence de pr´cision, on travaillera sur un espace de probabilit´ (Ω, F, P ). e e Table des mati`res e 1 Introduction 2 L’int´grale d’Itˆ en dimension finie e o 2.1 L’int´grale d’Itˆ pour les fonctions

Martingales et calcul stochastique Master 2 Recherche de Math´matiques e Universit´ d’Orl´ans e e Nils Berglund Version de Juillet 2010 Table des mati`res e I Processus en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 9 . 11 13 13 14 14 16 1 Exemples de processus stochastiques

AIDE MÉMOIRE PROBABILITES / CALCUL STOCHASTIQUE Prof. Pierre Devolder (UCL) 2009 Table des matières • • • • • • • 1. Eléments de probabilités 2. Processus stochastiques 3. Le mouvement brownien 4. Intégration stochastique 5. Equations différentielles stochastiques 6. Théorème de Girsanov 7. Représentation de Feynman- Kac UCL Devolder 2 1. Probabilités Notions de base de probabilité : (Ω , ℑ) - espace mesurable : Avec : Ω = un ensemble ℑ = une sigma algèbre

théorie des probabilités l'ont amené à mettre au point les chaînes de Markov qui l'ont rendu célèbre. Ceux-ci peuvent représenter les prémices de la théorie du calcul stochastique. Chaine de Markov en temps discret: Définition: Les processus stochastiques : définition et classification Définition: Un processus stochastique {X_{t},t∈T} est une collection de variables aléatoires indexées par un paramètre t et définies sur un même espace de probabilités (Ω,F,P). La variable X_{t}

Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance Damien Lamberton Bernard Lapeyre Avant-Propos Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif. Les premières concernent la correction d’erreurs plus ou moins importantes. L’erreur la plus sérieuse était une affirmation fausse concernant les intégrales stochastiques (voir le résumé des propriétés de l’intégrale stochastique à la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et l’exercice 15, qui nous a été

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Evaluation en temps continu 3.1 Introduction au calcul stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Espace probabilis´s et variables al´atoires . . . . . . . . e e 3.1.2 Variables al´atoires normales . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Mod´lisation du prix d’un actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Processus stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Les processus markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . .

Professeur Georges Bresson (Universit´ e Paris II S´ / eSORBONNE ries temporelles Universit´ es) 3 / 11 Plan du cours III - Processus non stationnaires et tests de racine unitaire III.1 - Non stationnarit´e et racine unitaire III.2 - Tendance stochastique et composante stationnaire III.3 - La d´ecomposition de Beveridge et Nelson III.3.1 - exemple: le PIB fran¸cais III.4 - Le filtre d’Hodrick-Prescott III.4.1 - exemple: le PNB US III.5 - Tests de racine unitaire III.5.1 - exemple: le PNB US III

CERMICS 2007-363 report. [2] Y. Achdou and O. Pironneau. Computational methods for option pricing. Frontiers in applied mathematics. SIAM, 2005. [3] H. Brezis. Analyse fonctionnelle. Dunod, 1999. [4] D. Lamberton and B. Lapeyre. Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance. Ellipses, 1997. [5] A. Quarteroni and A. Valli. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer, 1997. [6] P. Wilmott, J. Dewynne, and S. Howison. Option pricing : mathematical models and computation

Equiprobabilité : dans le cas ou chaque événements élémentaires à la même probabilité ( dès équilibré , boules indiscernables au touché etc… ) c'est-à-dire : ( en gardant les notations de la définition ) p({ 1}) = p({ 2}) = p({ 3}) =... = p({ n}) = Le calcul de la probabilité de n’importe quel événement sur  se simplifie :