Champ scalaire

( x y∗ ) = lim M T ( x y∗ ) T→∞ (3) I.E.1) Si E est un espace vectoriel inclus dans M 2 , montrer que deux fonc2 2 tions x, y ∈ E sont comparables (développer x + y et x + iy ). Il en résulte que sur E , ( x, y ) a est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier M x+ y 2 = M x + M y + 2 Re 2 2 (4) I.E.2) On dira que deux fonctions x, y ∈ 2 Que vaut alors M x + y ? I.E.3) M2 , sont

lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non nul mais v´rifie e e k=0 B(P, P ) = 0. 1.2. On a imm´diatement e 1 si k = j Lk (xj ) = δk,j = } 0 sinon On en d´duit que e ∀k, i ∈ [|0, n|], B(Lk , Li ) = Li (xk

Varignon. E Développer la notion de vecteur moment et de moment d une force par rapport à un axe. E Décrire et définir les notions de couple et de vecteur couple Ir GHIRI A IEPSCF -Uccle UF: Mécanisme Statique Moments et couples I Moment scalaire d une force par rapport à un point 1 - Définition M A (F ) = F × d d = distance entre A et F M A ( F ) = F × AB × sin a AB × sin a = d Ir GHIRI A IEPSCF -Uccle UF: Mécanisme Statique Moments et couples Ÿ Exemple Déterminons

Chapitre 8 Géométrie élémentaire de l’espace Objectifs • Rappeler les différents modes de repérage dans l’espace • Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications. • Étudier les droites, les plans et les sphères de l’espace. Sommaire I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal

e D  . Ù est la mesure alg´brique du vecteur e   : si ´ Equations ´Üµ ¼¼ ´Üµ ·   ¾ ´Üµ ´Üµ ¼, ¾Ê ¼, ¾Ê  ½ ·½ ¾Ê Ü· ×Ò Ü, ´ µ ¾ ʾ ´ µ ´ µ¸ E A 3 3.1 G´om´trie e e A Produit scalaire   ¡  Ù Ú Si   Ù Soient deux vecteurs ­  ­ ­  ­ ­ Ù ­ ­ Ú ­ Ó× . ­ ­­ ­   ´Ü Ý Þ µ, alors   ¡   ´Ü Ý Þ µ et Ú Ù Ú ¼ ¼ ¼   Ù et   , et Ú l’angle tel que     Ù Ú ÜÜ ¼ ¼ E D C : ¼ B · ÝÝ · ÞÞ . B C

PSI∗ Lycée Jean Perrin Colles maths du 13 décembre Espaces préhilbertiens réels et euclidiens Révisions suites et séries de fonctions E est un R-espace vectoriel 1 Produit scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo)

1), C(4 ; −3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1). 1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : −2x − 3y + 4z − 13 = 0. b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). −→ −→ − − c. Calculer le produit scalaire BH · CD . d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ? 2. On définit les points 1(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ? Exercices de géométrie 4 Baccalauréat S 4. Liban juin 2005 Pour chacune

Sous-espaces vectoriels engendr´s . e 2.3.3 Familles g´n´ratrices, familles li´es, e e e 2.3.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Vecteurs et syst`mes lin´aires . . . . . . . e e 2.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Produit scalaire et orthogonalit´ . . . . . e 7 7 8 10 10 10 11 14 14 14 15 17 17 18 20 20 20 22 23 25 27 28 31 31 31 32 32 33 33 34 35 36 36 37 38 38 39 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0   x − 3 = −2α ⇒  y − 2 = −3α   z + 1 = = 4α 4 juin 2005 La Réunion Baccalauréat S d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ? S’il l’était, d’après la partie les −→ − hauteurs issues de A et de B seraient sécantes et le produit scalaire BH · −→ − CD serait nul : or on vient de voir qu’il ne l’est pas. Conclusion : ABCD n’est pas orthocentrique. 2. Les droites (IO), JO) et (KO) sont trois hauteurs de ce tétraèdre. Elles concourent en O qui appartient à la quatrième hauteur. Les quatre

Chapitre 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE Compétences : Connaître et savoir appliquer les propriétés du produit scalaire dans le plan Savoir définir le produit scalaire dans l’Espace Connaître et savoir utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace Partie A : LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN 1 Définitions Soit u → v deux vecteurs et trois points A, B et C du plan vérifiant u = AB et v = AC . et → → → → → Si → = → ou → = → alors u . v = 0. u 0 v 0 Si u ≠ 0 et