Champ scalaire

sur celle-ci, soient maximales Le module OMi étant constant, minimiser HiMi consiste à maximiser OHi .ou bien ∑ OH i2 maximal au sens des moindres i carrés. r r r OM i = OH i + H i M i (OMi)2 = (OHi )2 + (HiMi)2 O Soit u , vecteur unitaire r r scalaires OM i u .  a11 a12  .  . Exemple : X =  a i1 a i 2   a n1 a n 2 u Mi ou Hi (F1) porté par F1, le produit matriciel Xu, représente les produits a13   .  a i3   a n3  et r r La ligne i du produit matriciel Xu sera égale à αa i1

coefficient de la jème ligne de la matrice de production brute (c’est-à-dire la production de la branche j). Vecteur unitaire : Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1, on le note S : S = 1⋮1 Produit Scalaire : On appelle produit scalaire de deux vecteurs x ϵ Rn et y ϵ Rn la quantité de la forme : x ,y= k=1n xi . yj Théorème de Gershgorin-Hadamard : Soit A une matrice carrée d’ordre n. Si A admet des valeurs propres réelles, alors pour toute valeur propre réelle

un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. multiplication vecteurs Le produit deux vecteurs entre eux existe ausssi: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est généralement pas possible de diviser deux vecteurs entre eux, ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs. Si deux vecteurs ont la même direction (si ils sont "parallèles")

générale : d2 (i, j) = d2 (xi , xj ) = ||xi − xj ||2 =< xi − xj , xi − xj >M = (xi − xj )t M(xi − xj ). M (3) 60 65 où M est une matrice symétrique définie positive de taille p spécifiant la distance choisie, < , >M et || ||M étant le produit scalaire et la norme associés à la métrique M. Lorsque toutes les variables sont exprimées dans la même unité (ce qui est le cas dans l’exemple des cidres) et que les variances ne sont pas trop différentes (de sorte que chaque variable ait la même importance

équation cartésienne de (BC) Donc (BC) a pour équation réduite y=−x+5 Les coordonnées de F sont solutions du système {y=x+3 y=−x+5 ⇔{x=1 y=4 Donc F a pou coordonnées (1 ; 4) Exercice 3 Plusieurs méthodes sont possibles pour montrer que le produit scalaire ⃗PD . ⃗AQ est nul Dans tous les cas il faudra mettre en évidence les égalités de longueurs suivantes : Comme P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur deux droites perpendiculaires en B , BPMQ est un rectangle et donc MQ=PB et PM=BQ Comme

Définition d'un vecteur : Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par : sa direction son sens sa norme Exemple : La direction deest la droite (AB). Le sens deest de A vers B. La norme deest la longueur AB. Egalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction

Orthogonalité Niveau : Tle S Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition

est-elle diagonalisable? 4 Donner ses valeurs propres avec leur ordre de multiplicité. 5 Donner une base de vecteurs propres orthonormée. 3 6 R3 est muni du produit scalaire x y = ∑ i =1 xi yi . Soit f l'application de R 3 × R 3 dans R qui au couple ( x, y ) associe f ( x, y ) = x Ay . L'application f est-elle un produit scalaire? 7 Calculer les valeurs propres de l'ACP centrée de A en fonction des valeurs propres de A. 8 Les vecteurs propres normés de A et les axes principaux de l'ACP de A sont-ils

Séquence 5 1ère partie : Produit scalaire (1) 2e partie : Suites numériques (1) Séquence 5 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Produit scalaire (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Produit scalaire de deux vecteurs 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 5 – MA12 1 Pré-requis A Théorème de Pythagore 1. Théorème de Pythagore C Vous connaissez bien sûr ce théorème. Théorème Le triangle ABC est rectangle en A

la matrice A. Exemple 2 Si √ 3 °2 A= 1 7 ! et √ ! 0 5 B= 2 °1 alors √ ! 3 3 A+B = . 3 6 3 Par contre si √ °2 B0 = 8 ! alors A + B0 n’est pas définie. Définition 4. Produit d’une matrice par un scalaire ° ¢ ° ¢ Le produit d’une matrice A = a i j de M n,p (K) par un scalaire Æ 2 K est la matrice Æa i j formée en multipliant chaque coefficient de A par Æ. Elle est notée Æ · A (ou simplement Æ A). Exemple 3 Si √ ! 1 2 3 A= 0 1 0 et Æ=2 alors √ ! 2 4 6 ÆA = . 0 2 0 La matrice