Champ scalaire

usuelles de dérivation : dérivée d’une somme, de − → − → λ · f , de f ◦ g, auxquelles s’ajoutent de nouvelles règles : THÉORÈME . − → → g Soient f et − deux fonctions vectorielles dérivables sur I , on a : − → → − → − → → → • dérivée du produit scalaire : f · − g = f ·− + f ·− . g g . − → → − → → − → → • dérivée du déterminant : det( f , − ) = det( f , − ) + det( f , − ). g g g − → − → • dérivée de la norme : si f ne s’annule pas, f − − → → f · f = − → . f 7.2 Pour terminer cette partie nous

[2p] 2 On peut également montrer la nullité du produit scalaire des deux vecteurs. La conjecture émise à la question a) est vraie. Remarque : il s'agit d'une configuration très classique (deux triangles rectangles dont le sommet de l'angle droit est commun) Exercice 4 Spécialité (5 points) uuu r uuu r 1. On calcule les coordonnées des vecteurs OA et BA : 0 0 uuu r uuu r OA 5 et BA -5 5 5 Puis on calcule le produit scalaire : uuu uuu r r OA . BA = -25 + 25 = 0 uuu r uuu r Les vecteurs

1 Résumé de Théorie et Guide de travaux pratiques Module N°20 : Mathématique appliquées SOMMAIRE A. CALCUL VECTORIEL 1. Notion de vecteur 1.1 Définition d ‘un vecteur 1.2 Composante d’un deux vecteurs 1.3 Somme de deux vecteurs 2 Produit scalaire de deux vecteurs 3. Produit vectoriel de deux vecteurs 3.1 Expression analytique du produit vectoriel 3.2 Méthode prodigue 4. Dérivée d’une fonction vectorielle 4.1 Exercices d’application B. GEOMETRIE PLANE 5. Les droites 5-1 Changement de repère

calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Courbures des surfaces dans l’espace R3 Ce problème propose une étude des surfaces de l’espace R3 et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l’espace Rn sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . . La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l’espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l’espace ; ; ; Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice 1 1 On considère la droite passant par 2; 1; 1 et de vecteur directeur 1 . 1 Pour chacun des points suivants, précisez s’ils appartiennent à : 3; 0; 0 ; 5; 2; 1 ; ; ; ; 2 √2; 1 √2; √3 1 Exercice 2 On considère les points 2; 3; 2 et 5; 1; 0 . . Exercice 3 Les points 1; 1; 0 , Exercice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 27 27 28 29 29 29 II Géométrie : produit scalaire et applications 6 Angles orientés 6.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mesures de l’angle orienté

DM de mathématiques. Dérivation – Produit scalaire. Exercice 1 Pour les fonctions f suivantes, calculer f '( x) .( On ne demande pas les ensembles de définition de f et de f’’ et on présentera le résultat de façon à ce que le signe de f '( x) soit aisé à étudier ) 3 x 3 x 2) f ( x)  x2 x2 5 2x  5 (2 x  3) 4) f ( x)  5) f ( x)  3 (4 x  7) 2x  3 1) f ( x)  3) f ( x)  x 2  3x  7 x 2  3x  5 2 6) f ( x)   3x  1 x2 Exercice 2 1 3 On considère les fonctions

courbe au point M (x(t), y(t)). Donc un vecteur directeur de la tangente à C1 en M1 (0) est :   8 − → x′ (0) − − → 3  − 1 = V (0)  √  V (0) ′ 8 3 y1 (0) 9 −→ − −−→ −− (c) Le vecteur V (0) est orthogonal au vecteur OM (0) car leur produit scalaire est nul :     4 8 −→ −−→ − −− x′ (0) x1 (0)  3   9 1 √  V (0) · OM (0) = · = √ · ′ 8 3 4 3  y1 (0) y1 (0) − 9 9 5 De la même façon, un vecteur directeur de la tangente à C1 en M1 (1) est :   8 − − → 3  − − → x′ (1) − 1 = V (1)

DS1 Suites Produit scalaire Terminale S3 02/10/2012 Exercice 1 1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel

Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwartz et ce