Champ scalaire

alors : Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées Si les points et alors : , sa norme s'écrit : ont pour coordonnées respectives 2 et 2 dist(AB)=AB=||AB||=(Xb-Xa) +(Yb-Ya) +(Zb-Za) 2 1.2 PRODUITS SCALAIRES Le produit scalaire des vecteurs u (x ; y ) et v (x ; y ) est u.v=(x ; y ).(x ; y )= x . X 1 + y1. y2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Propriétés : Quels que soient les vecteurs u, v et w et le réel r, on a : • u.v=v.u (commutativité)

"nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a

Premi` re S e qoeirgbe qogijqer giqo vqmeo vqe bqmoieh Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire −→ −− − −→ Pour les sept figures suivantes, calculer AB · AC . Exercice 2 : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure ci-contre, on a tracé deux cercles de centre O et de rayons respectifs 2 et 3. 1) Calculer les produits scalaires suivants : −→ −→ − − a) OI · OJ −→ −− − −→ b) OI · OK −→ −− − −→ c) OI · OB −− −− −→ −→ d) OB · OA paul milan

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa 1 Algèbre linéaire dans R2 et R3 1.1 Vecteurs de R2 et R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . . . 1

f ⎢ ⎢ ∂x2∂x ⎢∂ f ⎢ ∂y∂x ⎢ 2 ⎢∂ f ⎢⎣ ∂z∂x ∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y∂y ∂2 f ∂z∂y ∂2 f ⎤ ⎥ ∂x∂z ⎥ ∂2 f ⎥ ∂y∂z ⎥ ⎥ 2 ∂ f ⎥ ∂z∂z ⎥⎦ Calculée au point P P ( ) r r ∂2 f xi x j = X ⋅ AX ∑ i , j ∂xi ∂x j Est « Produit scalaire de X avec AX « Les méthodes CLASSIQUES descendent les pentes. Elles se divisent en deux grandes familles : Méthodes à plusieurs points : pas de gradient ni de Hessien * Méthode Simplex (aussi appelée « Amibe », « Amoeba » en anglais)

. . . . . . . . . . . . . . . 38 3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Produit scalaire 1/ Définition . . . . . . . . . . . 2/ Autres expressions du produit 3/ Règles de calcul . . . . . . . . 4/ Vecteurs orthogonaux . . . . 8 Applications du 1/ Équations de 2/ Équations de 3/ Longueurs et . . . . . scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition : Deux vecteurs non nuls u et v dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonaux. On ! " ! " note u ⊥ v . Remarque : par convention le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur. Attention on n’a pas défini le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Exemple : !!!" !!!! " AD ⊥ NM 2. Interprétation vectorielle des droites et des plans de l’espace. 2.1. Les droites. Définition : Soit (d) une droite. On appelle vecteurs directeurs de (d) tout vecteurs, non nuls

avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = ² = 1 Réponse c 3. ⃗⃗⃗⃗⃗ (1 ;0 ;1) ⃗⃗⃗⃗⃗ (0 ;1 ;1) sont 2 vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces 2 vecteurs soit nul. A(0 ;0 ;0) : ce ne peut donc être l’équation a. Dans l’équation b : le vecteur normal est ⃗ (1 ;-1 ;1). Mais ⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 + 1 = 2 Dans l’équation c : le vecteur normal est ⃗ (-1 ;1 ;1).

. . Révision 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 4.1 : Les caractéristiques d’un vecteur . . . . . . Section 4.2 : Les opérations sur les vecteurs . . . . . . . Section 4.3 : Combinaison linéaire et produit scalaire Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Banque de problèmes . . . . . . . .