Champ scalaire

tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan et conséquences. 2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan. ! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sont deux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $ %"

justifiant que exp(u) = exp(id) ◦ exp(u − id) ). 16. Écrire enfin l’endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u. IV. Calcul de distances à l’aide de projecteurs orthogonaux Dans cette partie, on suppose en plus que l’espace E est muni d’un produit scalaire < ·, · >, ce qui lui confère une structure d’espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée · , est définie par : √ ∀x ∈ E, x = < x, x >. Si F est un sous-espace vectoriel de E, on note F ⊥ son orthogonal, et on appelle projecteur

Vecteurs ............................................................................................................ 16 Barycentre......................................................................................................... 19 Produit scalaire ................................................................................................. 23 Produit vectoriel................................................................................................ 24 Produit mixte .............

. . . . . 8.3. Groupe des unités . . . . . . . . 8.4. Racines d’un nombre complexe 8.5. Géométrie du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Espaces Préhilbertiens Réels et Euclidiens 16.1. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . 16.2. Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens . 16.3. Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Endomorphismes symétriques . . . . 16.5. Matrice symétrique réelle . . . . . . . 13 16.6. Procédé de Schmidt . . .

prenant une subdivision de pas h est majorée par : . Programmation Matlab : III) Méthode de Gauss-Legendre : Principe : On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que où

il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de E. 2. Pour tout réel t , décomposer ϕ(t ) dans une telle

Construction Mécanique MECANIQUE APPLIQUEE L.P. AULNOYE EXERCICE CINEMATIQUE TRAJECTOIRES Page 1 Exercice : ESSUIE-GLACE 1. Présentation: Soit le système d'essuie-glace d'autobus représenté ci-dessous à échelle réduite. A, B, C, D sont des axes d'articulation, AB = CD = 51mm, AD = BC = 600mm. L’essuie-glace se déplaçant vers la gauche. 2. Questions sur les mouvements et trajectoires (Faire les tracés sur la figure 1) a. Tracer et repérer la trajectoire du point A de la biellette

(B, β) est le milieu du segment [AB]. On choisit souvent α = β = 1. On a alors + = . On obtient pour tout point M la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABM : + = 2 . En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut en vérifier les formes numériques : MA2 + MB2 = 2MI2 + et MA2 - MB2 = 2 . ou = 2 AB×IH où H est la projection du point M sur la droite (AB). Coefficients opposés : si α + β = 0 alors α + β = α ( - ) = α est un vecteur constant

deux points : AB  b  a Similitude directe : S(( ), k ,  ) : z  z '/ z '   kei ( z   ) ; avec =0 : homothétie, avec k=1 : rotation z    Im( z )  0  arg( z )  0[ ] Inégalité triangulaire : z  z   z  z   z  z  Produit scalaire : p  z. z ' z . z ' z  i  Re( z )  0  arg( z )   [ ] 2 Algèbre : Identités remarquables (valables sur  et donc sur  .)  a  b 2  a  2 ab  b2 ;  a  b  a2  2 ab  b2 2 2  a  b  a  b 3  a3 

graphiquee e e ment, elle repr´sente la longueur entre les deux extr´mit´s de celui-ci. e e e → − Une grandeur nomm´e A est repr´sent´e par un vecteur symbolis´ par la grandeur surmont´e d’une fl`che : A . e e e e e e → − → − Le module de ce vecteur est un scalaire positif et son symbole est A , A ou A. w w w .M 1.2.1 D´finition e at 1.2 NOTION DE VECTEUR h Extrémité Sens Axe de référence M u le od θ Origine Direction ou support Figure 1.1 Représentation géométrique d'un vecteur