Champ scalaire

sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée. ( ) un Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p , notée G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de M p ( ) de terme général ( xi  ( x1 x1 ) ( x1 x 2

Licence 1 : ECO-GESTION Ann´e Universitaire 2011/2012 e MATHEMATIQUES OPTIONNELLES : Alg`bre lin´aire 1 e e PARTIEL 2 - JANVIER 2012 Sections 1 et 2 Dur´e : 2 heures e Documents, portables, calculatrices . . . sont interdits. Aucun brouillon ne sera corrig´. e Toutes les r´ponses devront ˆtre justifi´es et r´dig´es avec soin. e e e e e Le barˆme est donn´ ` titre indicatif, il reste susceptible d’ˆtre modifi´. e e a e e Question de cours (8 points) 1. Soit E un espace vectoriel et e1 ,

admet une Vz tg au point (xy,f(x0)) de vecteur directeur u OJ f est dérivable en xo et f '(x0) = 0 Cf admet une Vi tg verticale au point (x0,f(x())). Cf admet une '/2 tg horizontale à droite (à gauche) du point (x0,f(x0)), _.-— Année Scalaire : : 3

α 2  etc…. uur j sinα M α cosα uu r i x 1 Vecteurs Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux. r ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE V = x , un vecteur =un scalaire Produit scalaire r r V1 ⋅ V2 est un scalaire (= un nombre réel) r r r r r r V1 ⋅ V2 =|| V1 || || V1 || cos (V1 ,V2 ) … Produit vectoriel r r V1 × V2 est un vecteur définition r r r r r r || V1 × V2 ||=|| V1 || || V1 || sin (V1 ,V2 ) r r r r r r (V1 × V2 )⊥V1 et

PRODUIT SCALAIRE ® ® Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 70°. Problème : calculer BC. On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormée du plan. Soient

PRELIMINAIRES → L’espace affine euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé → → direct → ( O, i , j , k ), → → → → d’axes Ox, → Oy, → Oz. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ( u v ) et leur produit vectoriel u ∧ v . On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques : x = R cos t y = R sin t z = ht L’objet de ce problème est d’étudier les projections

normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que x−

Fiche résumé : VECTEURS , COORDONNEES 2nd 1) Définitions: Vecteur : défini par une direction, un sens, et une distance. F B D [pic] Tous les couples de points (A,B) ; (C,D) et (E,F) représentent le même vecteur. E A = Origine du vecteur [pic] ; B = extrémité du vecteur [pic] . A C Rq : [pic] = vecteur nul ; distance AB = [pic] norme du vecteur [pic] 2) Egalité vectorielle : On dit que deux vecteurs sont égaux

chapitre 13 Applications du produit scalaire Travaux dirigés TD 1 1. AM ( x – x 0 ; y – y 0 ) AM et u colinéaires donc ( x – x 0 ) – ( y – y 0 ) = 0 ou x – y – x 0 + y 0 = 0 . On obtient une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a = , b = – et c = y 0 – x 0 . Il en résulte qu’une droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 et comme = – b et = a le vecteur u ( – b ; a ) est un vecteur directeur. 2. a) Les coordonnées de A vérifient ax + by + c = 0 donc A ∈ E . c b) AM  x ; y + --

e e e e = 1, m = 1, = 1. Le moment cin´tique e 2 Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant quelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5) df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que