Champ scalaire

l'introduction des principes de Newton et des théorèmes fondamentaux de la dynamique du point, ainsi que des principaux types de forces conservatives. Successivement, on aborde dans le chapitre 7 l'étude classique du mouvement d'un point matériel dans un champ de force centrale, avec application à la mécanique céleste. Le chapitre 8 est consacré à l'étude d'un type particulièrement important de forces non conservatives, les forces dissipatives. Ensuite, dans les chapitres 9 et 11 on généralise, respectivement

avec l’axe des x , ainsi que l’angle que fait AC avec l’axe des y. - En utilisant le produit scalaire ,vérifier que le vecteur AB est perpendiculaire au vecteur AC. - Trouver les coordonnées du point D, tels que les points A, B , C et D forment un rectangle. Exercice n°8 : On considère le triangle ABC de la figure ci-contre. On donne : AB = c ; AC = b ; BC =a a) Montrer en utilisant le produit scalaire que A b b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β α que devient cette relation pour β = π /2 C b) Montrer que

exercices des feuilles 1-5 contenus dans 1M005_TD_15.pdf sur Sakai constituent un bon entrainement. Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses. Exercice 1. Considérer deux vecteurs v et w de R3 et leur produit scalaire v · w ∈ R. 1. Exprimer le produit scalaire v · w en fonction des coordonnées de v et de w dans la base canonique B = (e1 , e2 , e3 ). 2. Dire s’il est vrai ou faux qu’on a v · v > 0 pour tout vecteur v non nul. Justifier rigoureusement la réponse. 3. Exprimer la matrice

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes de coordonnées Propriétés du calcul vectoriel 49 49 50 52 52 54 55 58 59 61 61 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interprétation géométrique

M1 – M´thodes e ■ Erreurs ` ´viter ae ! La m´canique est une science vectorielle : les fl`ches sur les vecteurs sont obligatoires 1 . e e −−→ −− → Il est interdit d’identifier un vecteur ` un scalaire : « vecteur = scalaire » n’a aucun sens ! a − → − → → − → Des pseudo-égalités du style ? = −?(? − ?0 ), 0 = ?− + ? ou − ?/ℛ = ?? sont non seulement ? ?− → (1) totalement incohérentes mais (2) très mal perçues au concours. ! Toujours commencer par faire un dessin représentant la

et vice versa. Voici e quelques exemples:     1 1 3 1 2 4  2 5  b =  3  b = [ 1 3 5 ]. A= A = 3 5 5 5 4 5 772 ` Algebre Matricielle L’addition et la soustraction des matrices fonctionnent exactement de la mˆme fa¸on que pour les scalaires, ` condition que les matrices puissent ˆtre e c a e additionn´es ou soustraites seulement si elles sont conformes. Dans le cas de e l’addition et de la soustraction, ceci signifie simplement qu’elles doivent avoir les mˆmes dimensions. Si A et B sont

avec [pic] ? χ) Multiplication scalaire Sortez votre papier millimétré !!! Premier exercice [pic]Tracer les vecteurs : Deuxième exercice [pic] Tracer les vecteurs : δ) Produit scalaire Sortez votre papier millimétré !!! Premier exercice Tracez avec précision et calculez le produit scalaire des vecteurs : [pic] [pic] Deuxième exercice Tracez avec précision et calculez le produit scalaire des vecteurs : [pic] [pic] Troisième

repr´sente alors dans les bases e et {1} e e e par : f : E−→ R   x1 3 3 x−→ f(x)=f( i=1 xi ei )= i=1 xi f (ei )= x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + x3 f (e3 )= x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (a1 , a2 , a3 ) x2  x1 (2) (*) Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire , et x0 ∈ E. Montrer que l’application u : x ∈ E → x0 , x0 x, x0 est une forme lin´aire sur E. D´terminer son noyau. Et l’application e e x ∈ E → x − x0 , x0 ? e D´monstration. Montrons que l’application u(x) = x0 , x0 x, x0 , est une application

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Sur quelques questions de calcul différentiel Notations et conventions Pour tout entier n > 0, on note . , . le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles