Champ scalaire

appelle mineur d’un élément quelconque , le déterminant obtenu en supprimant la ligne et la colonne se croisant en . Il est noté. Exemple : mineur associé à Cofacteur d’un élément : Soit , on appelle cofacteur d’un élément quelconque , le scalaire Où si (i+j) est pair, et si (i+j) est impair. Le déterminant recherché  est égal à la somme, sur une ligne ou sur une colonne des produits . Exemple : Soit à calculer Si nous décidons de le développer suivant les éléments de sa 1ère

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

NOMBRES COMPLEXES Démonstrations Démonstration 01 (retour au cours) Considérons un nombre complexe   s'écrivant de deux façons : ☎✝✆   ✁ ✂ ✄ et ✞ ✟ ✠☛✡☛☞✍✌✎✡ ✏ , avec ✑✓✒✕✔✖✒✕✑☛✗✘✒✕✔✎✗ réels. On a alors ✑ ✙ ✔✝✚ ✛ ✑☛✗☛✙✍✔✎✗ ✚ et on en déduit ✜✣✢✍✜☛✤✦✥★✧✪✩✬✫✎✤✭✢✍✫✦✮ Supposons que ✫ ≠ ✫✎✤ , on aurait alors ✧ ✥ ✜ ✢ ✜☛✤ , ✫✎✤ ✢ ✫ ceci n'est pas possible puisque ✧ ∉ IR alors que ✜ ✢ ✜☛✤ ∈ IR ✫✎✤ ✢ ✫ On ne peut donc pas avoir ✫ ≠ ✫✎✤ , ce qui signifie que ✫✯✥★✫✎✤ . Alors ✫✎✤✭✢✍✫

Ainsi dans tous les cas, on a trouvé dans L une matrice inversible A. 2 III.C.1) La famille (A, A2 , ..., An +1 ) est nécessairement liée car elle comporte n2 + 1 matrices de l’espace E = Mn (C) qui est de dimension n2 . Il existe donc des scalaires µ1 , ..., µn2 +1 non tous nuls tels que n2 +1 µj Aj = 0. j=1 Soit r le plus petit indice tel que µr = 0 et s le plus grand indice tel que µs = 0. On a donc s µ j Aj = 0 avec µr µs = 0. j=r Comme A est inversible, on peut multiplier

=1 2 i ( S6-LEF sc. éco. & gestion )( Prof. Mohamed El Merouani ) = Y ′ − Aˆ ′X ′ Y − X Aˆ = Y ′Y − Y ′X Aˆ − Aˆ ′X ′ Y + Aˆ ′X ′X Aˆ les termes de cette somme sont des matrices de type (1,1), c'est-à-dire des scalaires. Or, la ′ transposée d’un scalaire est le même scalaire. Ainsi, Y ′X Aˆ = Y ′ X Aˆ ( de type ) (1,n)(n,k)(k,1)=(1,1) lM ®E (Y ′X Aˆ )′ = Aˆ ′X ′(Y ′)′ = Aˆ ′X ′Y mais aussi n Finalement ∑e i =1 2 i = Y ′Y − 2 Aˆ ′X ′ Y + Aˆ ′X ′X Aˆ ero Le 2ème terme du 2ème membre

· · a2p    famille A de np éléments de K présentée sous la forme d’un tableau de la forme  . . . , noté A = aij 1 i n , . .   . 1 j p . . . an1 an2 · · · anp   où aij ∈ K pour tout (i, j) ∈ 1, n × 1, p . a1j  a2j  Le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i, j). Si j ∈ 1, p , la matrice . est appelée la j ème colonne de A, et    .  i ∈ 1, n , la matrice ai1 ai2 · · · aip est appelée la ième ligne de A. . anj • L’ensemble des matrices de taille

dimension (p, n) A, B et C : A + B = C aij + bij = cij (1ip, 1jn) 4.2. Produit d’une matrice par un scalaire : Soit les deux matrices de dimension (p, n) A, B et  un scalaire (complexe ou réel) : A = B aij = bij (1ip, 1jn) 4.3. Conclusions Conclusion 1 : On peut aisément montrer que l’ensemble des matrices de dimension (p, n) muni des l’addition usuelle et le produit par un scalaire (R ou C) forme une structure d’un espace vectoriel. Conclusion 2 : Une base de l’espace vectoriel Mp

Chapitre 4 - les applications linéaires Rétour sur le cours du 29 X 2007 ► Définition ● Soient E et F deux espaces vectoriels sur IR, et soit f(.) une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si l’on a : (X(E, (Y(E, (α ( IR, (β ( IR, f(αX+ β Y) = αf(X)+ βf(Y). ● L’application f1(.), par exemple, de IR² dans IR², définie par f1 = , est une application linéaire. En effet, (( IR², (( IR², (α ( IR, (β ( IR, on a : f1 = αf1 + βf1. Vérification : αf1 + βf1

Addition des matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1 i  m 1 j  n Alors A+B est une matrice de même type : A+B  aij  bij 1i  m 1 j  n Produit d’une matrice par un scalaire Soient A  aij 1 i  m et   K, alors A  aij 1 i  m 1 j  n 1 j  n Produits de matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1i n 1 j  p Alors la matrice

de A. λ = −2 : [A + 2I |0] = 3 x1 = − x2 =⇒ x = 4 x2 libre 4 3 0 4 3 0 −− − − −→ r´duction e 1 3/4 0 0 0 0 3 3 − x2 − = x2 4 4 , x2 un scalaire quelconque. x2 1 3 4 1 1 −1 0 0 0 0 − =L −3 4 . Alors l’espace propre correspondant ` λ = −2 est L a λ = 5 : [A − 5I |0] = −3 3 0 4 −4 0 −− − − −→ r´duction e x 1 x1 = x2 =⇒ x = 2 = x2 , x2 un scalaire quelconque. x2 1 x2 libre Alors l’espace propre correspondant ` λ = 5 est L a Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e 1 1