Combinaison convexe

de M2 .  La fabrication d'une unité de C3 demande  3 unités de M1 ,  6 unités de M2 et  2 unités de M3 .  Quelles quantités de composants C1 , C2 et C3 peut fabriquer l'entreprise ? 2.1. Dénitions générales Dénition 2.1:  Une combinaison linéaire des p variables X1 , X2 · · · , Xp est de la forme : α1 X1 + α2 X2 + · · · αp Xp avec α1 , α2 , · · · , αp ∈ R  Une équation linéaire à p inconnues X1 , X2 · · · , Xp et à coecients réels est de la forme : α1 X1 + α2 X2 + · · ·

pour équation y =mx  p , on peut étudier le signe de f  x  −  mx  p  comme pour les asymptotes. Méthode 2 : On utilise la convexité Si f est deux fois dérivable sur I, on calcule f ' '  x  . y 6 5 • si f ' ' 0 sur I alors f est convexe sur I, c'est-à-dire la courbe C f est au dessus de toutes ses tangentes sur I. -2 -1 4 3 2 1 A 0 -1 1 2 3 4 x • si f ' ' 0 sur I alors f est concave sur I, c'est-à-dire la courbe C f est en dessous de toutes ses tangentes

de lait, et de le distribuer gratuitement à des personnes pauvres. | COURBES D'INDIFFÉRENCE Les courbes d'indifférence montrent les combinaisons de deux marchandises qu'un individu serait disposé à acheter, et qui le satisferait pareillement (ou le laisserait indifférent). Les courbes d'indifférence présupposent que plus est préféré à moins. Elles sont convexes lorsque vues de l'origine. Les courbes d'indifférence forment une panoplie entière de différents niveaux de satisfaction. Graphique G-MIC1

sont ´chang´s sur les produits d´riv´s par des intervenants du monde e e e e entier. 1.6 Les produits structur´s e Un produit structur´ est un produit con¸u par une banque pour satisfaire e c les besoins de ses clients. C’est souvent une combinaison complexe de produits classiques et de produits d´riv´s. Ce sera, par exemple, un placement a taux fixe e e ` avec une participation ` la hausse ou ` la baisse des cours d’un panier d’actions. a a Ils peuvent prendre des formes juridiques vari´es

peuvent rendre le moule inutilisable. Tous ces inconvénients peuvent être supprimés par le moulage mécanique. Donc dans le moulage mécanique, le sable est serré mécaniquement soit : - Par pression. - Par secousses. - Ou le plus souvent par combinaison des deux procédés (pression et secousses). - Et par projection. L'empreinte de la pièce n'est plus donnée par un modèle ordinaire, mais par un modèle fixe sur un support dont l'ensemble est appelé plaque modèle, d'où les pièces obtenues par moulage

d'objets ........................................... 374 Ajouter une troisième dimension (3D instantanée)..... 376 14. Couleur, remplissages et transparence . 379 Appliquer des couleurs unies ..................................... 381 Utiliser des combinaisons de couleurs ....................... 384 Utiliser les remplissages dégradés et bitmap ............. 391 Définir la transparence ............................................... 396 15. Prévisualiser et publier ........................ 401 Afficher

deux biens apporterait la même utilité qu’un panier qui permettrait de consommer de plus petites quantités de chacun des deux biens. La pente de la tangente à une courbe d’indifférence est donnée par le TMS (par définition de ce dernier). Elles sont convexes. Nous allons examiner la signification de cette hypothèse. Prenons deux points qui appartiennent à la même courbe d’indifférence, A(x1, ′ ′ ′ ′ x2) et B(x1, x2) avec x1 < x1 et x2 > x2. Supposons que la quantité de biens 1 consommé par l’agent diminue

autre bien ou d'un autre service. exemples → bâtiments, terrains, machines, travail, matières premières, … N facteurs (x1,...,xi,...,xn ) → N désigne les combinaisons productives des N facteurs . Le micro-économiste cherche les combinaisons productives optimales pour minimiser les coûts de production. La mise en œuvre d'une combinaison lui permet d'obtenir un niveau de production y . Avec y = f (x1,...,xi,...,xn) f la fonction de production Les facteurs de productions peuvent être substituables

Lin´arit´ : E(aX + Y |F1 ) = aE(X|F1 ) + E(Y |F1 ). e e 2. Monotonie : Si X Y alors E(X|F1 ) E(Y |F1 ). 3. Convergence monotone : Si Xn 0 est une suite croissante telle que Xn X avec E(X) < ∞ alors E(Xn |F1 ) E(X|F1 ). 4. In´galit´ de Jensen : Si ϕ est convexe et E(|X|) et E(|ϕ(X)|) sont finies alors e e ϕ(E(X|F1 )) 5. Contraction dans Lp pour p E(ϕ(X)|F1 ) . E(|X|p ). (3.2.15) 1 : E(|E(X|F1 )|p ) 24 ´ CHAPITRE 3. FILTRATIONS, ESPERANCE CONDITIONNELLE Nous laissons la preuve en exercice. Le

une sous-martingale un jeu gagnant. Proposition 4.3 Toute martingale M vérifie: ∀t ≤ T E[Mt ] = E[M0 ] . 2 Démonstration: On a pour tout t ≤ T , E[Mt ] = E[E[Mt /F0 ]] = E[M0 ]. Proposition 4.4 Soit M une F-martingale et φ : R → R une fonction convexe mesurable, alors si φ(M ) est intégrable, c’est une sous-martingale. Démonstration: φ(M ) est intégrable et adapté et l’inégalité de Jensen conditionelle nous donne: E[φ(Mt )/Fs ] ≥ φ(E[Mt /Fs ]) = φ(Ms ) . 2 28 Proposition 4.5 Soit M une F-martingale