Combinaison linéaire

Universit´ Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires

répétitions sont non possibles et que l’ordre n’est pas important. Toute partie de p éléments distincts choisis parmi n éléments (p”Q HVW DSSHOpH FRPELQDLVRQ GH S p An p éléments parmi n. Le nombre total de combinaisons d’un ensemble à n éléments est : Cn = . p! 4. Propriétés des arrangements et combinaisons n! n! Ap = et C p = formules évidentes à montrer à partir de n n ( n − p )! p !( n − p )! la définition.... C p = C n − p en effet il y a autant de parties de E à p éléments que n n de parties de E à

Corrigé du baccalauréat STG CGRH Métropole–La Réunion 22 juin 2010 E XERCICE 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) 4 points A B B Total 2 1. p A = . 3 1 2. p(B) = . 6 3. p A (B) = p(A ∩ B) = p(A) 1 18 1 3 A 1 9 5 9 2 3 Total 1 6 5 6 1 18 5 18 1 3 H HH 1 H 1 H = 1 18 1 ×3 = . 6 1 1 1 6+3−1 8 4 + − = = = . 3 6 18 18 18 9 8 points 4. p(A ∪ B) =p(A) + p(B) - p(A ∩B) = E XERCICE 2 A) Étude du prix de revient unitaire moyen : 72 25 1 = − 55 + 100 +

nature de la variable Y ? Faire une représentation graphique de cette série statistique Déterminer la droite d'ajustement de Mayer Calculer le coefficient de corrélation linéaire de Y en t Déterminer la droite de régression linéaire, de Y en t, par la méthode des moindres carrés. L'ajustement linéaire est-il satisfaisant? On considère la variable X définie par : X = t² – 12.t + 20. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. t (en année) | 1,1 | 1,5 | 1,8

Correction du Concours Blanc n°3 Problème 1 Partie A : 1. fe1=αe1+1-αe1 fe2=1-αe2+αe2 2. Soit Xabcd tel que AX=I Alors α1-α1-ααabcd=1001 On obtient alors le système suivant : αa+1-αc=1 (L1)αb+1-αd=0 (L2)1-αa+αc=0 (L3)1-αb+αd=1 (L4) ⇔αa+1-αc=1αb+1-αd=0a+c=1 1-αb+αd=1 L1+L3⟶L3 ⇔αa+1-αc=1αb+1-αd=0a+c=1 b+d=1 L2+L4⟶L4 Donc a=1-c et b=1-d, On remplace dans les équations L1et L2 : α1-c+1-αc=1 ⇔ α-2αc+c=1 Et α1-d+1-αd=0 ⇔ α-2αd+d=0

FICHE METHODE AJUSTEMENT AFFINE I) A quoi sert un ajustement affine ? a) Exemples : . Voici l’évolution du prix d ’un article sur le marché en fonction du temps. Mois 1 2 3 4 Prix 10,7 11,4 12,2 13 Est-il possible de faire une prévision acceptable du prix Le 5e mois ? Sous quelle condition ? 14 13 12 11 10 9 0 1 2 3 4 5 . Mêmes questions pour les données suivantes. Mois 1 2 3 4 Prix 9 11 11,5 10,5 12 11,5 11 10,5 10 9,5 9 0 1 2 3 4 5 b) Remarques : Dans le premier cas

| C1 C2 C3 C4 -----+---------------------------- C1 | 1.00 C2 | 0.98 1.00 C3 | 0.11 0.28 1.00 C4 | 0.51 0.65 0.90 1.00 -----+---------------------------- Ici on constate que toutes les corrélations linéaires sont positives (ce qui signifie que toutes les variables varient, en moyenne, dans le même sens), certaines étant très fortes (0.98 : corrélation entre MATH et PHYS et 0.90 : corrélation entre FRAN et ANGL), d’autres moyennes (0.65 : corrélation entre

éléments fondamentaux : ▪ un mouvement de tendance générale ou « trend » T ; ▪ un mouvement cyclique C ; ▪ un mouvement saisonnier S ; ▪ des variations accidentelles ou résiduelles R. Les séries saisonnières sont le résultat de la combinaison de deux évolutions : ← la tendance qui correspond à la progression de long terme, ← et les variations saisonnières qui correspondent aux fluctuations de court terme. Ces deux composantes peuvent s'ajouter l'une à l'autre - on parle alors de

Programmation linéaire. Sommaire : Définition, recherche d’un bénéfice maximal, recherche d’un coût minimal. Pré requis : Régionnement du plan. Remarque : Dans tout ce qui suit, on se place dans le repère . 1. Définition. La programmation linéaire est une méthode permettant d’optimiser, c'est-à-dire rendre le plus grand ou le plus petit possible, une fonction linéaire à deux inconnues x et y, cela sous certaines contraintes définies par des inégalités. Les exemples habituels d’optimisation

dans un repère (O, I, J) orthonormé d'unité 1 cm, les fonctions suivantes : p définie par p(x) = x + 4 (en rouge); q définie par q(x) = -2x (en vert); r la fonction affine telle que r(-2) = 3 et r(2) = 4 (en bleu); s la fonction linéaire telle que s(5) = -4 (en noir). Exercice 4 : (9 points) ATTENTION : Toutes les lectures sur le graphique doivent être justifiées par des tracés en pointillés. Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules : Formule A :on