Combinaison linéaire

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t

L’intersection quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Remarque : Ceci est g´n´ralement faux pour l’union ! ! ! e e D´finition. Soit (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ E n , nous notons V ect(x1 , x2 , ..., xn ) l’ene semble des combinaisons lin´aires des xi : e V ect(x1 , x2 , ..., xn ) = {x ∈ E | ∃(λ1 , λ2 , ..., λn ) ∈ Kn , x = λ1 x1 +λ2 x2 +...+λn xn }. 1.2 Familles libres, g´n´ratrices, bases e e Dans toute la suite sauf mention contraire, E d´signe un K espace vectoe

F une application linéaire. 1) Montrer l'équivalence des propriétés suivantes : i) T : (E, . ) −→ (F, . ) est continue. ii) T : (E, σ(E, E )) −→ (F, σ(F, F )) est continue. iii) T : (E, . ) −→ (F, σ(F, F )) est continue. 2 2) Montrer l'implication : T : (E, σ(E, E )) −→ (F, . ) continue =⇒ dimIm(T ) < +∞. Soient X et Y deux espaces vectoriels normés et T un opérateur linéaire continu de Y dans X . Montrer que T est un opérateur dual (c'est-à-dire ∃A : X −→ Y linéaire continue telle que

inversible ( 2 méthodes : matrice adjointe et matrice compagnon ) - Écriture matricielle d’un système linéaire o Équations linéaires Systèmes d’équations linéaires - Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan (attention : exprimer des variables en fonction d’autres …) - Résolution d’un système linéaire par inversion de matrice - Résolution d’un système linéaire par la méthode de Cramer – Représentation graphique des solutions ( points et droites du plan - points,

somme e est-elle directe ? 2 15. Soit E un espace vectoriel sur un corps K et x1 , · · · , xn , n vecteurs de E. Montrer que (x1 , · · · , xn ) est une famille libre si et seulement si aucun des vecteurs de la famille ne peut s’´crire comme combinaison lin´aire des autres. e e 16. Soit E un espace vectoriel sur un corps K et x1 , · · · , xn , n vecteurs de E. 1) On consid`re les vecteurs y1 = x1 − x2 , y2 = x2 − x3 ,...,yn−1 = xn−1 − xn et yn = xn − x1 . e Sont-ils lin´airement ind´pendants? e

variation : . Cependant, les intervalles bilatéraux nous renseignent sur une plus grande concentration des données dans le cas des hommes, autour de la moyenne arithmétique. DETERMINATION DE LA PROPORTION P PAR INTERPOLATION LINEAIRE Par interpolation linéaire, Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés croissants D’où 29 29 0 20 23 25 Limites des classes d’âge La valeur pour ans est connue car lue dans le tableau. Elle correspond à 235 individus. Ainsi

b) Déterminer un supplémentaire de F dans F(R, R). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013 Applications linéaires Exercice 25 [ 01703 ] [correction] Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : a) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x + y + 2z b) f : R2 → R définie par f (x, y) = x + y + 1 c) f : R2 → R définie par f (x, y) = xy d) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x − z ? Exercice

fonctions Fonctions Linéaires et Proportionnalité Commençons par un exemple : soit x la longueur d'un côté d'un carré et soit y le périmètre de ce carré. On a : y = 4x On dit que le périmètre est fonction linéaire de la longueur du côté. longueur d'un côté d'un carré x 1 2 7 10 périmètre de ce carré 4x 4 8 28 40 I. Définition Définition : Soit a un nombre donné. Lorsque l'on associe à chaque nombre x le produit ax, on définit la fonction linéaire de coefficient a. Notation

Au collège 4 glaces coûtent 5 €. Quel sera le prix de 10 glaces ? 15 Utilisation de la fonction linéaire associée à la situation Version dans le cadre algébrique de la technique précédente (COLLEGE): Soit f la fonction linéaire qui associe, au nombre n de glaces, la mesure du prix p à payer, l’unité de prix étant l’euro : p = f(n) = a × n avec a coefficient de la fonction linéaire On sait que f(4) = 5 donc 4 a = 5 soit a = 5 : 4 = 1,25 D’où p = f(n) = 1,25 n. Chercher le prix de 10 glaces