Conjecture de Syracuse

Activité 1 a) C J O C(3 ; 3) 1 I A C1 C2 B2 B1 B b) Les points C se trouvent tous sur une même droite verticale, à l’abscisse 3. Donc xC = 3. x +x c) On remarque que xC = A B . 2 Pour ce qui est de l’ordonnée, on peut utiliser un tableau pour conjecturer la formule de calcul. yA = yB = yC = 1 5 3 1 1 1 1 –2 – 0,5 c) Le repère (D ; I, A) n’est pas orthonormé. Et l’axe des abscisses est orienté vers la gauche. 1 3 A(0 ; 1), B 5 ; – et C 4 ; . 2 2 A a) D J O B b) Les repères cités ne sont pas orthonormés

qu'un prince chasse l'autre, et qu'elle passe ainsi de maître en maître, jusqu'à ce qu'il s'en trouve un plus vertueux et plus éclairé qui la rende libre. Et ce bienfait encore ne s'étendra pas au delà de la vie de ce prince. Dion et Timoléon, à Syracuse, en sont un exemple frappant. Aux diverses époques où ils vécurent, leur vertu fit fleurir la liberté ; mais le lendemain même de leur mort la ville retomba sous la tyrannie. Nicolas Machiavel (1531), Les discours sur la première décade de Tite-Live

— Découvertes de l’amiral Hannon. — Organisation politique de Karthage. — Conquêtes de Karthage dans les îles et sur le littoral de la Méditerranée. — Guerres de Sicile. — Révolte des Berbères. — Suite des guerres de Sicile. — Agathocle, tyran de Syracuse. — Il porte la guerre en Afrique. — Agathocle évacue l’Afrique. — Pyrrhus, roi de Sicile. — Nouvelles guerres dans cette île. — Anarchie en Sicile. TEMPS PRIMITIFS. — L’incertitude la plus grande règne sur les temps primitifs de l’histoire de

un maximum que f admet en xS. Activité 2. Forme canonique et équation f (x) = 0 A. 1. a. g(1) = – 4 et pour tout x, g(x) ജ – 4. Donc g admet un minimum en 1. b. S (1 ; – 4) () b 3 3 1 = et yS = f =- . 2a 2 2 2 3 1 b. On conjecture que a = , b = - . On prouve cette conjecture par un développement : 2 2 32 1 9 1 - = 2 x 2 - 3 x + - = 2 x 2 - 6 x + 4 = f ( x ). 2 x2 2 4 2 32 1 c. f (x) = 0 € x = € x = 1 ou x = 2. 2 4 B. 1. a. h(x) = 4(x2 – 6x) + 27 2. a. xS = - ( ) ( ) ( ) b. x2 – 6x + 9 = (x

maximum que f admet en xS. Activité 2. Forme canonique et équation f(x) = 0 A. 1. a. g(1) = – 4 et pour tout x, g(x) b. S (1 ; – 4) 2. a. xS = – 4. Donc g admet un minimum en 1. b 3 3 1 = et yS = f =- . 2a 2 2 2 3 1 b. On conjecture que a = , b = - . On prouve cette conjecture par un développement : 2 2 32 1 9 1 - = 2 x 2 - 3 x + - = 2 x 2 - 6 x + 4 = f ( x ). 2 x2 2 4 2 32 1 c. f (x) = 0 € x = € x = 1 ou x = 2. 2 4 B. 1. a. h(x) = 4(x2 – 6x) + 27 () ) ( ) ( ) ( b. x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 d’où

assuré que Caius ne serait pas plus empereur qu'il ne traverserait à cheval le détroit de Baïes. XX. Ses spectacles dans les provinces, où il fonde aussi des concours Il donna aussi des spectacles hors de l'Italie. Les jeux urbains, en Sicile, à Syracuse, et des jeux variés à Lyon, dans les Gaules. En outre, il établit des luttes d'éloquence grecque et d'éloquence latine où les vaincus, dit-on, étaient obligés de couronner eux-mêmes les vainqueurs et de chanter leurs louanges. Ceux dont les compositions

nommer ? Qu’on mette d’un costé cinquante mil hommes en armes, d’un autre autant, qu’on les range en bataille, qu’ils viennent à se joindre, les uns libres combattans pour leur franchise, les autres pour la leur oster : ausquels promettra l’on par conjecture la victoire, lesquels pensera l’on qui plus gaillardement iront au combat, ou ceux qui esperent pour guerdon de leurs peines l’entretenement de leur liberté, ou ceux qui ne peuvent attendre autre loyer des coups qu’ils donnent ou qu’ils recoivent

peut le moins. Aussi est-ce cet ensemble de figures qu'ARCHIMÈDE considéra comme sa plus importante et plus belle découverte, et qu'il avait choisi comme épitaphe ; et c'est bien ce signe qui a authentifié la découverte du tombeau d'ARCHIMÈDE, à Syracuse, en Sicile, par CICÉRON. Or, ARCHIMÈDE ne pouvait ignorer l'antériorité de la découverte égyptienne du même théorème qu'il a très probablement utilisé, aménagé et présenté à sa manière 8 . Ses autres 8 V. V. STRUVE, Mathematischer papyrus des staatlichen

initiale (esprit rude). 8 CHAPITRE I • LA VIE ET LES ÉCRITS BIOGRAPHIE À l'exception de quelques données, non douteuses en elles-mêmes encore que la chronologie en demeure passablement incertaine, la biographie de Platon est surtout riche de conjectures, dont quelques-unes se fondent uniquement sur l'idée que, d'autre part et selon notre humeur, nous avons pu nous faire de la personnalité du philosophe. On place communément la naissance de Platon en 428/7; mais on exclut ainsi, sans le dire, une

on January 24, 2011 414 Political Theory postreformation Christianity, was premised on critical thinking and rational proof. He wrote, “The Islamic religion is the only religion that censures belief without proof and the following of conjectures; reproves blind submission; seeks to show proof of things to its followers; everywhere addresses itself to reason . . .”73 This was not exactly an accurate characterization of actually existing Islamic practice, but it described Afghānī’s ideal